Gleichung mit Matrix Ax = b. Anzahl Lösungen? Welche der folgenden Kombinationen sind möglich?

Question

 Komme bei der Aufgabe leider überhaupt nicht weiter:-(

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Es geht um folgende Aufgabe! (siehe unten )Ich möchte bitte keine Lösung! 

Die ersten beiden Fälle, also a und b habe ich ausgeschlossen, da je nachdem wie man x wählt der Vektor 4 rauskommen kann. Also sei x = (a b) also 2 zeilen, 1 spalte. So kann man Ax = b ja lösen richtig ? Meine eigentliche Idee war es, dass d richtig ist, weil je nachdem welche Zahlen man einsetzt koennen unendlich viele Ergebnisse rauskommen, solange die Dimensionen stimmen. Lieg ich damit auf dem Holzweg? 
lgund danke schonmal für die Hilfe :)

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siehe www.mathelounge.de/409094/

Grüße,

M.B.

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Danke, aber wie oben schon geschrieben möchte ich die Lösung nicht haben ;)

Answer 1

a)    Rang(A) ≤ 2   da  A nur 2 Spalten  hat .


Also 2 Variable  aber  4 Gleichungen.  Klappt also etwa mit

1  0
1  0
0  1
0  1

und b =

1
2
1
2


b) Ax=0  besitzt immer mindestens den 0-Vektor als Lösung.      Also falsch


c)  falsch   Lösungen des inhom. Systems sind immer:

eine Lösung + alle vom homogenen System

d)  Das klappt mit  


1  0
0  0
0  0
0  0
und b =

1
0
0
0

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da  A nur 2 Zeilen hat .   Aber 4 Variable

Sollte das etwa stimmen ?

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Deinen  Zweifel  sehe ich als berechtigt an. Es ist genau umgekehrt:2 Variable und 4 Gleichungen, hab ich verpennt. Versuche mal zukorrigieren.

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Sitze auch schon seit gestern Abend an dieser Aufgabe.... Wie wäre es denn jetzt richtig?

Answer 2

1. Überlege dir mal, warum aus Ax=b und Ay=0 folgt, dass A(x+y) =b.

2. Überlege, warum Ax=0 immer eine Lösung besitzt.

Zusammen führt das auf die von dir favorisierte Lösung d)

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Vielen dank!

Also sind bei Ax=b und Ax=0 unterschiedliche x vektoren gemeint ?

aber wieso müssen sie zusammen b ergeben ?

Und noch eine kurze frage:

Hier wird ja von "Lösungen" gesprochen. Damit ist doch gemeint dass die gleichung aufgeht unabhängig davon, welche zahlen für die variablen genommen werden oder?

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Also A und b sind fest vorgegeben. Jetzt ist die Frage wie viele x die Gleichung lösen.

Also sind bei Ax=b und Ax=0 unterschiedliche x vektoren gemeint ?

Ja natürlich! Ansonsten würde ja auch b=0 gelten.

aber wieso müssen sie zusammen b ergeben ?

A(x+y) = Ax + Ay = b + 0 = b

Answer 3

Benutze rang(A) und rang(A|b) und überlege, was passieren kann.

Du hast die Struktur:

$$ \begin{aligned} * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr \end{aligned} $$

Es gibt einen Zusammenhang zwischen \( \rm rang(A)  \) und \( \rm rang(A^T) \).

Es gibt einen Zusammenhang zwischen \( \rm rang(A)  \) und \( \rm rang(A|b) \).

Es gibt einen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Rängen und der Lösung von LGSen.

Comments

Komme auch nicht weiter :-(

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Du hast die Struktur

$$ \begin{aligned} * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr * & * & | & * \cr \end{aligned} $$

Es gibt einen Zusammenhang zwischen \( \rm rang(A)  \) und \( \rm rang(A^T) \).

Es gibt einen Zusammenhang zwischen \( \rm rang(A)  \) und \( \rm rang(A|b) \).

Es gibt einen Zusammenhang zwischen den verschiedenen Rängen und der Lösung von LGSen.