Gruppen und Körper Algebraische Strukturen

Question

Ich arbeite gerade ein paar Themen für die Klausur auf und in der Woche wo Gruppen und Körper dran kamen war ich leider krank.
Deswegen habe ich ein paar Fragen.

(ℤ/mℤ,+) mit der Addition mod m, soll nach der Lösung eine Gruppe sein. Damit bin ich nicht einverstanden.

1 Frage) Darf ich einfach irgendwelche Zahlen einsetzten um die einzelnen fälle zu beweisen? Also bei (Z,+) setze ich um zu zeigen das es assoziativ ist einfach (3+6)+9=3+(6+9) ein. In diesem Fall ...  (3 mod 4 +6 mod 4 ) + 9 mod 4 = 3  mod 4 + (6  mod 4 +9 mod 4 )?

2 Frage) Warum es bei mir keine Gruppe ist liegt daran, dass ich kein inverses Element finden kann ... oder darf ich einfach ein Minus setzten? Also 3 mod 4 + (-(3 mod 4 ))?

Answer 1

1 Frage) Darf ich einfach irgendwelche Zahlen einsetzten um die einzelnen fälle zu beweisen? Also bei (Z,+) setze ich um zu zeigen das es assoziativ ist einfach (3+6)+9=3+(6+9) ein. In diesem Fall ...  (3 mod 4 +6 mod 4 ) + 9 mod 4 = 3  mod 4 + (6  mod 4 +9 mod 4 )?

nein, du musst das schon allgemein beweisen.Aber du kannst ja benutzen, dass die Addition in Z assoziativ ist und dass für a,b,c aus   ℤ/mℤ   das Ergebnis der Addition immer auchauch durch Addition von (a+b)+c  bzw  a+(b+c) und anschließendem Bilden des Restes gefunden werden kann.

2 Frage) Warum es bei mir keine Gruppe ist liegt daran, dass ich kein inverses Element finden kann ... oder darf ich einfach ein Minus setzten? Also 3 mod 4 + (-(3 mod 4 ))?   Doch, wenn du z.B. mod 8 rechnest, ist  3 das Inverse von 5 denn 3+5 = 8 = 0 mod 8

Du brauchst also nur zu sagen, wenn a aus {o,...,m-1 } ist, dann gibt es immer auch ein b aus  {o,...,m-1 }  mit  a+b=m. bzw. =0 .