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Sei (an)n1 { (a_n) }_{ n\ge 1 } eine Folge mit limnan=a { \lim }_{ n\to \infty }a_n = a und bn : =1nk=1nak b_n := \frac{ 1 }{ n } \sum_{ k=1 }^{ n }{ a_k}. Zeigen Sie limnbn=a. { \lim }_{ n\to \infty } b_n = a.

Wie kann ich dies zeigen?  Danke vorab =)

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Informiere dich unter https://www.matheretter.de/rechner/latex, wie hier TeX \TeX -Code eingeben werden kann. Ich habe dieses mal deinen Beitrag repariert.

Sei (an)n1 eine Folge mit \text{Sei } { (a_n) }_{ n\ge 1 } \text{ eine Folge mit } limnan=a und bn : =1nk=1nak. \lim_{ n\to \infty } a_n = a \text{ und } b_n:= \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ a_k}. Zeigen Sie :  limnbn=a.\text{Zeigen Sie: } \lim_{ n \to \infty } b_n=a.

1 Antwort

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Hi,

bna=1nk=1naka=1nk=1n(aka)1nk=1nakaϵ \left| b_n -a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k - a \right| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k - a) \right| \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n | a_k - a| \le \epsilon falls akaϵn |a_k -a | \le \frac{\epsilon}{n}

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danke für die schnelle Antwort. Nur ganz verstehen tue ich diesen Ansatz nicht um ehrlich zu sein :D.

Ich kann nachvollziehen, warum der Grenzwert "a" sein muss, allerdings nicht wie mir deine Rechnung hier

weiterhilft.

könntest du vielleicht dazu noch etwas erklären?

Hi,

zu zeigen ist, dass es ein n0 n_0 gibt, s.d. für alle nn0 n \ge n_0 gilt
1nk=1naka<ϵ \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \lt \epsilon für jedes ϵ>0 \epsilon > 0

Da ak a_k gegen a a konvergiert, gibt es ein k0 k_0 mit aka<ϵ2 | a_k - a | < \frac{\epsilon}{2} für alle kk0 k \ge k_0
Jetzt folgt
1nk=1naka1n(k=1k0aka+k=k0+1naka)1n(k0M+nϵ2) \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k -a \right| \le \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^{k_0} |a_k - a| + \sum_{k=k_0+1}^n |a_k- a| \right) \le \frac{1}{n} \left( k_0 \cdot M + n \cdot \frac{\epsilon}{2}\right)
Wählt man jetzt n0 n_0 das gilt k0n0Mϵ2 \frac{k_0}{n_0} \cdot M \le \frac{\epsilon}{2} folgt die Behauptung.
Für M M gilt
M=maxk=1k0{aka} M = \max_{k=1 \cdots k_0 } \{ |a_k -a| \}

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