Extremalproblem, Aquarium mit maximalem Volumen

Question

Aus 12m Winkeleisen soll der Rahmen für ein Aquarium gebaut werden. Welche Abmessung und welches maximale Volumen hat es, wenn es 3 mal so breit wie tief ist?

Also V soll maximal werden (V --> max).

V = abc

V = 3c*bc = 3bc^2

Hauptfunktion: V = 3bc^2

Wie geht es nun weiter?

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Hinweis
Kantenlänge
l = 4 * ( a + b + c ) = 12

Answer 1

Aus 12m Winkeleisen soll der Rahmen für ein
Aquarium gebaut werden. Welche Abmessung
und welches maximale Volumen hat es, wenn
es 3 mal so breit wie tief ist?

a : Länge
b : Breite
c : Tiefe ( Höhe )

4 * ( a + b + c ) = 12
b = 3 * c
4 * ( a + 3 * c + c ) = 12
a + 4 * c = 3
a = 3 - 4 * c

V = a * b * c
V ( c ) = ( 3 - 4 * c ) * 3 * c * c =
V ( c ) = ( 3 - 4c ) * 3c^2
V ( ( c ) = 9 * c^2 - 12 * c^3
V ´( c ) = 18 * c - 36 * c^2

18 * c - 36 * c^2 = 0
c * ( 18 - 36 * c ) = 0

Satz vom Nullprodukt : ein Produkt ist dann
0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist

c = 0 ( Extrempunkt Minimum )
18 - 36 * c = 0
36 * c = 18
c = 0.5 m ( Extrempunkt Maximum )

b = 3 * c
b = 1.5

a = 3 - 4 * c = 3 - 4 * 0.5
a = 1

12 = 4 * ( a + b + c )
12 = 4 * ( 1 + 1.5 + 0.5 )
stimmt schon einmal

V = a * b * c = 1 * 1.5 * 0.5
V = 0.75 m^3

Bitte alles kontrollieren

Comments

Also hat an sich alles gestimmt, habe alles kontrolliert :)

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann wieder einstellen.

Answer 2

jetzt noch die 12m einbauen

4*3c + 4*c + 4*b = 12

16c + 4b = 12

           b = 3 -  ( 4/16) * c = 3 - c/4

bei   V = 3c*bc = 3bc²    einsetzen und du hast eine Funktion von c, die

du ableiten kannst.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Aber warum bei 4*3c + 3*c + 4*b = 12 nur 3*c? Es ist doch 4 mal die Seite c, oder?

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klar, da war ich wohl was durcheinander.

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Kein Problem :)
So, jetzt habe ich bei der 1. Ableitung (-36c^2) bei der Nullsetzung das Ergebnis c = 0 raus. Bei der zweiten Ableitung kommt ja dann auch 0 raus. Dann ist es doch kein Extrempunkt oder?

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Ich hab das mit der 3 mal korrigiert.Dann hast  du doch   3 - c/4 eingesetzt, das gibt dann doch

V(c) =  9c² - (3/4)*c³  ,  also

V ' (c) = 18c  -  (9/4) * c²Die Lösung c=0 ist ja das Minimum ( Volumen = 0 )  aber

die andere ist c=8 .

Da ist dann V ' ' (8) = -18 < 0 also Max. bei c=8
mit max. Volumen V(8) = 192

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Also ich habe das so gemacht:

4*3c + 4*c + 4*b = 12

16c + 4b = 12 |-16c

4b = 12 - 16c |:4

b = 3 - 4c

V = 3bc^2 = 3 * (3 - 4c) * c^2 = 9 - 12c * c^2 = 9 - 12c^3

V´= -36c^2

0 = -36c^2 |:(-36)

0 = c^2 |

0 = c

V´´ = -72c

0 = -72c |:(-72)

0 = c   --> kein Extremwert

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V = 3bc² = 3 * (3 - 4c) * c² = 9 - 12c * c² = 9 - 12c³

Da war was falsch (Bei mir übrigens auch schon wieder) 

3 * (3 - 4c) * c² = (9 - 12c) * c² = 9c²  - 12c³