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Zwei Orte A und B haben von einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke die Abstände AC = a = 5 km und BD = b = 7 km. Die Gleislänge CD = c beträgt 12 km. An der Strecke CD befindet sich ein Bahnhof. Die Strecke von A zum Bahnhof und anschließend zu B beträgt 17,5 km. Wie weit ist der Bahnhof von C entfernt? Für die Aufgabe gibt es zwei Lösungen.

von

2 Antworten

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Es ist egal, ob die Bahn zwischen a und B verläuft, oder beide auf der gleichen

Seite liegen,  einfach spiegeln.   Also nehme ich mal das erste :


Bild Mathematik



Dann 2x Pythagoras

25+x2 = (17,5 - y)2  und  y2 = (12 - x)2  + 49
von 172 k
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Wenn man den offensichtlichen Weg wählt, so wie mathef, dann kommt man auf zwei Gleichungen, die letztlich in einem Polynom 4'ter Ordnung enden. Das ist zwar grundsätzlich lösbar, aber vielleicht nicht so gewollt. Ich schlage daher einen anderen Weg vor, der vielleicht etwas aufwändiger ist, aber bei dem man nur eine quadratische Gleichung lösen muss.

Ich mache mir dabei zunutze, dass alle Punkte deren Summe von Abständen von \(A\) und \(B\) gleich 17,5 sind, auf einer Ellipse liegen. Dann lege ich ein Koordinatensystem derart, dass die Achsen der Ellipse parallel zu den Achsen des Koordinatensystems liegen. Die Bahnlinie ist die lineare Funktion \(y=x-5\sqrt{2}\)in diesem Koordinatensystem. Ihre beiden Schnittpunkte mit der Ellipse sind die beiden möglichen Positionen für den Bahnhof.

Bild Mathematik

Für die Halbachse \(a\) der Ellipse muss gelten \(2a=17,5\), und da der Abstand \(AB=12\sqrt{2}\) sich leicht berechnen lässt, folgt daraus auch die Halbachse \(b=\sqrt{73}/4\). Die Ellipse ist um den halben Abstand \(AB\) nach rechts verschoben, also folgt daraus

$$\left( \frac{2(x-6\sqrt{2)^2}}{17,5}) \right)^2+ \left( \frac{4y}{\sqrt{73}} \right)^2 =1$$ Das Einsetzen der linearen Funktion (s.o.) führt zu einer quadratischen Gleichung mit den Lösungen $$x_{1}\approx 5,10127\quad x_2\approx9,19993$$ und den dazu gehörige Y-Werten $$y_1= -1,96979\quad y_2=2,12886$$ Die Strecke \(AX\) ergibt sich aus dem Phytagoras \(AX \approx\sqrt{5,10127^2 +-1,96979^2 }\approx5,4684\) und demnach ist z.B. \(CX\) $$CX\approx \sqrt{5,4684^2 - 5^2} \approx 2,2143$$

Gruß Werner

von 19 k

Korrektur: der Zähler im ersten Summanden der Gleichung für die Ellipse heißt \(2(x-6\sqrt{2})\). Da ist mir wohl der LaTeX verrutscht.

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