wie löse ich diese Aufgabe zu den einfachen gebrochenen- rationalen Funktionen?

Question

Ich weiß bei der folgenden Aufgabe (Übung 5a) nicht, wie ich die Kurvendiskussion durchführen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke  

Answer 1

Hallo

mfg Gold-und-Silber-lieb-ich

Answer 2

Hallo Astrid,

f(x) = (x² + 1) / x

die Ableitungen bestimmst du mit der Quotientenregel    [ u / v ] ' =  ( u' * v - u * v' ) / v²

f '(x) = (x² - 1) / x² 

f "(x) = 2 / x³  

1) maximaler Definitionsbereich    

Der Nenner darf nicht 0 werden  →  D = ℝ \ { 0 }

2) Symmetrie   

f(-x) = ( (-x)² + 1) / (-x)  = ( x² + 1 ) / (-x) = -  (x² + 1) / x  = - f(x)

        →  Symmetrie zum Ursprung

3) Nullstellen:

f(x) = 0  ⇔_D  x² + 1 = 0   →  keine Nullstellen

4) Verhalten an den den Randstellen des Definitionsbereichs

f(x) = x + 1/x   →  Asymptotenfunktion  f_A(x) = x 

lim_x→±∞ f(x) = ± ∞  

[ Asymptotenfunktion, der sich f im Unendlichen nähert ]

5) Extremwerte und Monotonie:   

f '(x) = 0 ergibt die möglichen Extremstellen x_E  

 (x² - 1) / x²  = 0   ⇔  x² - 1 = 0  ⇔  x = ± 1

x₁ = 1  ;  f " (1) = 2 > 0    →  T(1| 2)

x₂ = -1 ;  f "(-1) = -2  →  H(-1| -2) 

f ist also streng monoton steigend in  ] - ∞ , -1 ]  und  in [ 1 ; ∞ [  ,  sm-fallend in  [ -1 , 1 ]

6) Wendepunkte und Krümmung: 

f " (x) = 0  ergibt die möglichen Wendestellen x_w

2/x³  hat keine Nullstellen →  keine Wendepunkte

f "(x) > 0  ⇔ x>0  →  Linkskrümmung in ℝ⁺ ,  RK in ℝ^- 

7)  Verhalten an der Definitionslücke:

x=0 ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel:

lim_x→0+  f(x) = lim_x→0+  (   x + 1/x ) = ∞  

lim_x→0-  f(x) = lim_x→0-  (   x + 1/x ) = - ∞  

8) Graph:

#)  Es heißt Asymptotenfunktion :-)

Gruß Wolfgang

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