> Wenn die Ableitung aber keine reellen Nullstellen hat, ist das dann schon ein Indiz für strenge Monotonie?
Ja. Aber wirklich nur ein Indiz. Zusätzlich benötigt man noch, dass sie auf dem ganzen Intervall stetig ist. Das ist in der Schule meistens der Fall, insbesondere ist es für ganzrationale Funktionen der Fall. Für f(x) = tan(x) ist das aber zum Beispiel nicht der Fall. Diese Funktion hat zwar auch auf ihrem gesamten Definitionsbereich eine positive Ableitung, ist aber bei x=π/2 nicht definiert, insbesondere also auch nicht stetig.
> Weil ohne, dass die Steigung mal 0 wird ja auch keine Krümmungsänderung
Krümmung und Monotonie haben nichts miteinander zu tun. Zum Beispiel hat f(x) = x3 + x eine Krümmungsänderung (von rechts- nach linksgekrümmt) bei x=0, ist aber monoton.
