Schnittmenge von zwei Ebenen

Question

wollt mal fragen, ob meine Lösung auch stimmen würde:

Hab da nämlich (10 -4 -4 0) + Lamba (-2 -1 -3 4)

Also der Richtungsvektor ist identisch, nur der Aufhängepunkt ist anders. Obwohl ich alles gleich gemacht hab, außer die zweite Gleichung positiv zu machen.

Answer 1

 (10 -4 -4 0) +  λ·(-2 -1 -3 4) ist nicht die Schnittmenge der zwei Ebenen. Es ist eine Berechnungsvorschrifft für die Parameter der Ebenen. Setze die Werte in die Parameterdarstellung der Ebene E₁ ein um daraus die Parameterdarstellung der Schnittmenge zu bestimmen.

Auf jeden Fall sind

        {(10 -4 -4 0) + λ·(-2 -1 -3 4) | λ∈ℝ }

und

        {(4 3 -3 0) + λ·(-2 -1 -3 4) | λ∈ℝ }

verschiedene Mengen, weil die Gleichung

        (10 -4 -4 0) = (4 3 -3 0) + λ·(-2 -1 -3 4)

nicht lösbar ist.

Answer 2

Das geht auch weniger aufwändig: Das Gleichsetzen der Ebenengleichungen führt auf 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten λ₁, λ₂, μ₁ und μ₂. Dieses System lässt sich reduzieren auf eine Gleichung mit zwei Unbekannten, insbesodere auf eine Gleichung, die λ₁ durch λ₂ ausdrückt. Damit wird dann die erste Ebenengleichun zur Geradengleichung