Sechsstellige natürliche Zahlen z gesucht

Question

Von einer sechsstelligen natürlichen Zahl z wird gefordert: Streicht man die erste Ziffer und hängt sie hinter die verbleibenden fünf Ziffern an, dann erhält man eine Zahl, die dreimal so groß ist wie z.

Ermittle alle Zahlen z, die diese Bedingungen erfüllen.

Answer 1

Eine 6-stellige Zahl mit 1. Ziffer x hat den Wert

z =  100000x + y               wobei y die Zahl ist, die nach Streichung der 1. Ziffer bleibt.

Wenn man da die erste Ziffer dranhängt, hat die Zahl den Wert

10y + x .

also 

( 100000x + y )*3  =    10y + x

300000x  + 3y =  10y + x

299999x =  7y    | :7


42857 * x = y  Nun ist x ja eine Ziffer von 1 bis 9

(erste Ziffer 0 würde ja keine 6-stellige Zahl ergeben)und y eine 5-stellige Zahl.

Das geht nur für x=1 oder x=2 .

Also ist die gesuchte Zahl
142857    oder  285714 

Probe

428571 = 3*142857    und  

 857142 =     3* 285714  

Answer 2

Sei \(z \in \mathbb{N}\) sechsstellig. Dann muss \(z\) für geeignete \(k \in \left\{1,2,3\right\}\) der Gleichung

$$10\cdot z- k\cdot 10^6+k = 3\cdot z$$genügen. Das ist äquivalent zu

$$7\cdot z=999999\cdot k$$und weiter zu

$$z=142857\cdot k.$$Dies bleibt offenbar nur für \(k \in \left\{1,2\right\}\) sechsstellig.