l´Hospitalische Regel: lim x→0 x^{-1} * (√(1 + x)−1)

Question

Wäre super wenn mir bei dieser Angelegenheit jemand behilflich sein könnte :)

Es sei x ∈R. Berechnen Sie mit der l’Hospitalschen Regel 

lim x→0          x^{-1} * (√(1 + x)−1)

Habe dort als Antwort 0.5 heraus bekommen, glaube aber das ich mich verrechnet habe.

Answer 1

MatheUntalentiert, 

nein, das Ergebnis ist völlig richtig! Einen Beweis dafür gibt es hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E(-1)+*+(sqrt(1+%2B+x)%E2%88%921)++for+x+to+0

Gute Arbeit und viele Grüße!

André, savest8

Comments

Ah das freut mich ja richtig! :)

Danke fürs nach rechnen bzw. nachrechnen lassen! :)

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Gerne doch! Ich habe es danach natürlich noch einmal manuell nachgerechnet ... der guten alten Zeiten wegen;-)

Answer 2

Zu Fuß geht es genau so schnell

( √(1 + x) − 1 ) / x

[ ( √(1 + x) − 1 ) ] ´ = 1 / ( 2 * √(1 + x) )
x ´= 1

lim x −> 0  [ 1 / ( 2 * √(1 + x) ) ] = 1 / 2