Ich bräuchte mit bitte Hilfe beim Ansatz dieses Beispiels, wäre sehr dankbar dafür.
löse zuerst die homogene Differentialgleichung, danach kannst du die partikuläre Lösung mithilfe der Variation der Konstanten erhalten:
$$ y'+sin(x)y=sin(x)\\\text{homogene DGL:}\\{ y }_{ h }'+sin(x){ y }_{ h }=0\\\frac { d{ y }_{ h } }{ y }=-sin(x)dx\\{ y }_{ h }=C{ e }^{ cos(x) }\\\text{Variation der Konstanten: }\\{ y }_{ p }=C(x){ e }^{ cos(x) }\\{ y }_{ p }'+sin(x){ y }_{ p }=C'(x){ e }^{ cos(x) }=sin(x)\\C'(x)=sin(x)*{ e }^{ -cos(x) }\\C(x)={ e }^{ -cos(x) }+D\\{ y }_{ p }=1+D{ e }^{ cos(x) }\\y={ y }_{ h}+{ y }_{ p }=C{ e }^{ cos(x) }+D{ e }^{ cos(x) }+1={ c }_{ 1 }{ e }^{ cos(x) }+1 $$
wie löst man die partielle integration: C´(X)= sin(x)*e^-cos(x)
Diese DGL kannst Du mittels Trennung der Variablen lösen.
y' +sin(x) y=sin(x) | -sin(x) *y
y ' = sin(x) -sin(x) *y
y ' = sin(x) (1-y)
dy/dx= sin(x) (1-y)
dy/(1-y)= sin(x) dx
usw.
danke für die hilfe erstmal,
wie kommt man bei der umformung auf (1-y)?
ich habe sin(x) ausgeklammert.
so geht es bei dieser Lösung weiter :
das löst Du dann nach y auf.
Ergebnis: y=K1 * e^{cos(x)} +1
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