Wie lang ist die Strecke AB unter den gegebenen Voraussetzungen?

Question

ich komme bei einer Aufgabe, die ich lösen soll, nicht weiter (nicht maßstabsgetreu):

~draw~ gerade(0|6 1|6);punkt(2.5|6 "A");punkt(5|6 "B");punkt(1|1 "C");punkt(2.5|1 "D");punkt(4|1 "E");strecke(1|1 4|1);strecke(2.5|1 2.5|6);strecke(1|1 5|6);strecke(4|1 5|6);zoom(10) ~draw~

Folgende Angaben sind bereits bekannt:

Die Strecke AD beträgt 40cm. Die Strecke CE beträgt 3cm. Die Strecke BC ist 0.5cm länger als die Strecke BE.

Folgendes soll ermittelt werden:

Die Strecke AB.

Ich habe bereits mit mehreren Gleichungen unter Anwendung des Satz des Pythagoras versucht, die gesuchte Strecke zu berechnen, aber bisher leider ohne Erfolg.

für die Hilfe,

Maurice

Comments

Hallo Maurice,

Deine Angaben reichen noch nicht aus, um $AB$ zu bestimmen. Ich unterstelle mal, dass der Punkt $D$ auf der Strecke $CE$ liegen soll und das $AB$ parallel zu $CE$ liegt - oder?

Gibt es eine Aussage, wo genau der Punkt $D$ auf $CE$ liegt?

Gruß Werner

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Hallo Werner,

da hast Du recht, ich hätte noch mehr Angaben machen müssen. D ist der Mittelpunkt der Strecke CE und AD ist senkrecht zu CE. AB und CE sind auch zueinander parallel, richtig.

Maurice

Answer 1

Hallo Maurice,

dann reichen die Angaben um $AB$ zu berechnen.

 

Die Strecke $CX$ sei $x$ und die Strecke $QB=EB$ sei $y$. Der Abstand $AD$ sei $a$ und das Delta $CQ=0,5\text{cm}$ sei $d$. Dann betrachte ich die rechtwinkligen Dreiecke $CXB$ und $EXB$.

$$x^2 + a^2=(y+ d)^2$$

$$(x-e)^2+ a^2= y^2$$

$e$ ist die Strecke $CE=3\text{cm}$. Sind zunächst mal zwei Gleichungen - die ziehe ich beide von einander ab

$$\Rightarrow 2xe - e^2 = 2yd + d^2 \quad \Rightarrow y=\frac{2xe - e^2 - d^2}{2d}$$

und das setzte ich in die erste Gleichung ein

$$x^2 + a^2=\left(\frac{2xe - e^2 - d^2}{2d}+ d \right)^2$$

$$x^2\left( 1 - \frac{e}{d}\right) - x\frac{e(d^2-e^2)}{d^2} + a^2 - \left( \frac{d^2-e^2}{2d}\right)^2=0$$

Ich hoffe das stimmt. Überprüfe es noch mal. Die Strecke $AB$ ist dann $=x-e/2$. Ich komme auf $AB \approx 6,85\text{cm}$.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Hilfestellung, die Lösung war richtig! :)

Maurice

Answer 2

Das ergibt 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, siehe Foto.