Berechne die Wendepunkte. Ich weiß nicht, wie ich y ausrechnen soll.

Question

f(x) =x³ + 2x² - 5x - 6

Ich weiß nicht wie ich y ausrechnen soll im Lösungsheft steht W(-0,67/-2,07)

Kann mir jemand den Rechenvorgang zeigen?

Answer 1

Leite die Funktion zweimal ab und setze die Ableitung gleich 0. Die erste Ableitung liefert Dir die Steigung und die zweite die Änderung der Steigung. Ändert sich die Steigung nicht mehr, so bedeutet das, dass sich die Richtung der Krümmung ändert, also z.B. eine Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht - und das nennt man einen Wendepunkt.

$$f(x)=x^3+2x^2-5x-6$$

$$f\prime(x)=3x^2+4x-5$$

$$f\prime \prime(x)=6x+4$$

$$f\prime \prime(x_W) = 0 \quad \Rightarrow 6x_W+4=0 \quad \Rightarrow x_W=\frac{-2}{3} \approx -0,6667$$

Einsetzen in die Ursprungsgleichung ergibt den Wert für $f(x_W)$

$$f(x_W)=x_W^3+2x_W^2-5x_W-6\\=\left(\frac{-2}{3}\right)^3+2\left(\frac{-2}{3}\right)^2-5\frac{-2}{3}-6=\frac{-56}{27} \approx -2,074$$

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,

> Ändert sich die Steigung nicht mehr, so bedeutet das, dass sich die Richtung der Krümmung ändert. 

Das kann man wohl schwerlich als "f "(x) ändert das Vorzeichen" interpretieren (?)

Ich meine, eine Begründung, dass bei x_w  auch wirklich ein Wendepunkt vorliegt, fehlt.

Gruß Wolfgang

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Ok - hätte man vielleicht ausführlicher formulieren sollen.

Mal angenommen, es liegt eine Linkskurve vor, das bedeutet, dass die Steigung immer größer wird - d.h. die Änderung der Steigung ist positiv. Läuft die Linkskurve aus, so wird der Anstieg der Anstieg der Steigung immer kleiner bis er schließlich zu 0 wird. Das ist der Wendepunkt. Anschließend wird der Anstieg der Steigung kleiner als 0, d.h. die Kurve geht in eine Rechtskurve über.

Gruß Werner

Answer 2

f(x) = x³ + 2x² - 5x - 6

f '(x) = 3x² + 4x - 5 

Jede Polynomfunktion 3. Grades hat  genau einen Wendepunkt. Die Wendestelle ist die Nullstelle der 2. Ableitung:

 f ''(x) = 6·x + 4 = 0    →    x_w = -2/3 ≈ - 0,67

f(-2/3) = -56/27 ≈ - 2,07      →  W( - 2/3 | - 56/27 )  ≈ ( - 0,67 | - 2,07)

Gruß Wolfgang