Eine Frage zur Nullstellenberechnung mit einer Zahl vor dem x2, EDIT: z.B. 3x2 + 9x +5 = -1

Question

Ich habe eine Frage zur Nullstellenberechnung mit einer Zahl vor dem x²

( EDIT erste Version: z.B.    y =  3x²  9x +5 = -1 )

EDIT: Korrigierte Version:  z.B. 3x² + 9x +5 = -1

hier muss man ja durch 3 teilen, um auf die Nullstellen x₁ = -1 und  x₂= -2 zu kommen

Zwischendurch komme ich auf 

y = (x + 1,5)² -0,25  da könnte man ja denken, das sei die Scheitelpunktform mit S ( -1,5 / -0,25)

(ist sie aber nicht, weil ich ja den Streckfaktor 3 vorher weggenommen habe)

Wieso klammert man bei der Scheitelpunktberechnung die Zahl vor dem x² aus und 

wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x^2.?

 Ich kann mir das einfach nicht vorstellen. Warum macht man diesen Unterschied?

Kann mir das jemand genau beschreiben, warum?

Schöne Grüße von Ommel

Comments

Hallo: 

y =  3x²  9x +5 = -1 

ist ein kleiner Salat.

Eine Funktionsgleichung kann nicht einfach noch = -1 dabei haben und vor 9x fehlt noch ein Rechenzeichen (oder?) . 

Unterscheide quadratische Gleichungen und Gleichungen von Parabeln und lies die Fragestellung ganz genau. Dort steht in der Regel, was du berechnen sollst. 

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Oh ja, du hast recht,  3x² + 9x +5 = -1   heißt die Aufgabe 

Es stand kein y da. Kann man das nochmal korrigieren?

 

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EDIT: Habe das oben mal so ergänzt. Nun hast du aber bereits eine Antwort von oswald auf die ursprüngliche Frage. 

Einfach so solltest du nicht ein y erfinden.

Grundsätzlich gilt: Wenn du 

y = ax² + bx + c hast und a≠1 und a≠1       |:a

y/a = x² + b/a * x + c/a 

Will man y-Werte ausrechnen, muss man irgendwann wieder mit a multiplizieren. 

Nur bei Nullstellen von y (also Resultat 0 und nicht z.B. -1) spielt es dann keine Rolle mehr, wenn man den y-Wert ausrechnen will. Grund a*0 = 0

Answer 1

> Zwischendurch komme ich auf y = (x + 1,5)² -0,25

Dabei hast du die linke Seite der Gleichung nicht durch 3 geteilt.

> Wieso klammert man bei der Scheitelpunktberechnung die Zahl vor dem x² aus und

Brauchst du nicht. Du darfst auch einfach durch 3 teilen. Das musst du aber, wie bei Gleichungen üblich, auf beiden Seiten der Gleichung machen:

$$\begin{aligned}y & =3x^{2}+9x+5 & & |\,:3\\\frac{y}{3} & =x^{2}+3x+\frac{5}{3} & & |\,-\frac{5}{3}\\\frac{y}{3}-\frac{5}{3} & =x^{2}+3x & & |\,+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} & & |\,-\frac{7}{12}\\\frac{y}{3} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{12} & & |\,\cdot3\\y & =3\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{21}{12}\end{aligned}$$

> wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x^2.?

Weil sich der Term x² + px leichter zu einem Binom ergänzen lässt als der Term ax² + bx.

Beispiel was passiert, wenn man das nicht macht. In der Gleichung 0 = 3x² + 9x + 6 soll x bestimmt. Die Gleichung kann umgeschrieben werden zu

        0 = (√3·x)² + 9x + 6

Sutrahiert man 6, dann bekommt man

        -6 = (√3·x)² + 9x.

In der binomischen Formel (a+b)² = a² +2ab + b² wählt man jetzt a = √3·x.

Dann ist 2ab = 2·√3·x · b = 9x, also ist b = 9/(2√3). Quadratische Ergänzung liefert dann die Gleichung

        (9/(2√3))² - 6 = (√3·x)² + 9x + (9/(2√3))²,

was sich mittels binomischer Formel zu

        (9/(2√3))² - 6 = (√3·x + 9/(2√3))²

zusammenfassen lässt. Wurzeln ergibt

        ±√((9/(2√3))² - 6) = √3·x + 9/(2√3),

was sich vereinfachen lässt zu

        ±√(9/12) = √3·x + 9/(2√3),

Man subtrahiert nun 9/(2√3) und dividiert anschließend durch √3 und kommt so zu

        ± √(9/36) -9/(2·3) = x.

Wie du siehst ist dieses Verfahren zwar möglich, aber umständlich.

Comments

>Dabei hast du die linke Seite der Gleichung nicht durch 3 geteilt<

aber die linke Seite ist ja 0 und wenn ich durch 3 teile, bleibt es bei 0

0/3 = (x + 1,5 )² - 0,25     ??? Was ändert das?

>wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x² >

ich rechne erstmal immer ohne pq-Formel und habe dann

( 3x + 1,5 )²  - 3,75 = 0    / ±√

3x +1,5 ±√   da komme ich dann nicht weiter und müsste wohl vorher durch 3 teilen

oder ??? 

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Dann setzt man die Gleichung nur bei der Nullstellenberechnung auf 0.

Und bei der Scheitelpunktform bleibt das y stehen und wird hier z.B. durch 3 geteilt.

Die Nullstellen liegen auf der x-Achse und y ist in dem Moment 0 . also y = 0

Bei der Scheitelpunktberechnung ist y ja nicht unbedingt 0 und liegt irgendwo im Koordinatensystem, deshalb kann man y nicht auf 0 setzen. y bleibt also y

Das Durcheinander tut mir leid, aber das ist alles gar nicht einfach für mich...

Grüße von Ommel

Answer 2

3x² + 9x +5 = -1
3x² + 9x + 6 = 0

Diese quadratische Gleichung  kann mit der
Mitternachtsformel gelöst werden.

Wenn ich durch 3 teile entsteht
x² + 3x + 2 = 0

Diese quadratische Gleichung kann mit 
der pq-Formel oder der quadratischen
Ergänzung gelöst werden.

Die Ergebnisse sind gleich
x = -1
x = -2

Die Lösungen entsprechen den Nullstellen
einer Parabel.

f ( x ) =  3x² + 9x + 6 

Herleitung der Scheitelpunktform aus der
allgemeinen Form

Scheitelpunktform
S ( xs | ys )
f ( x ) = a * ( x - xs ) + ys

f ( x ) =  3x² + 9x + 6
3x² + 9x + 6
3 * ( x² + 3x + 2 )
3 * ( x² + 3x + 1.5² - 1.5² + 2 )
3 * ( x² + 3x + 1.5² - 0.25 )

3 * ( x² + 3x + 1.5² ) - 3 * 0.25
3 * ( x + 1.5 ) ² - 0.75
S ( -1.5 | -0.75 )

Ist der Vorfaktor
a postiv erhöhen sich alle Funktionswerte
-0.75 ist der tiefste Punkt

a negativ verringern sich alle Funktionswerte
-0.75 ist der höchste Punkt