0 Daumen
74 Aufrufe

Ich habe eine Frage zur Nullstellenberechnung mit einer Zahl vor dem x^2

( EDIT erste Version: z.B.    y =  3x^2  9x +5 = -1 )

EDIT: Korrigierte Version:  z.B. 3x^2 + 9x +5 = -1

hier muss man ja durch 3 teilen, um auf die Nullstellen x= -1 und  x2= -2 zu kommen

Zwischendurch komme ich auf

y = (x + 1,5)-0,25  da könnte man ja denken, das sei die Scheitelpunktform mit S ( -1,5 / -0,25)

(ist sie aber nicht, weil ich ja den Streckfaktor 3 vorher weggenommen habe)

Wieso klammert man bei der Scheitelpunktberechnung die Zahl vor dem x2 aus und

wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x2.?

 Ich kann mir das einfach nicht vorstellen. Warum macht man diesen Unterschied?

Kann mir das jemand genau beschreiben, warum?

Schöne Grüße von Ommel

von

Hallo:

y =  3x2  9x +5 = -1 

ist ein kleiner Salat.

Eine Funktionsgleichung kann nicht einfach noch = -1 dabei haben und vor 9x fehlt noch ein Rechenzeichen (oder?) . 

Unterscheide quadratische Gleichungen und Gleichungen von Parabeln und lies die Fragestellung ganz genau. Dort steht in der Regel, was du berechnen sollst. 

Oh ja, du hast recht,  3x2 + 9x +5 = -1   heißt die Aufgabe

Es stand kein y da. Kann man das nochmal korrigieren?

EDIT: Habe das oben mal so ergänzt. Nun hast du aber bereits eine Antwort von oswald auf die ursprüngliche Frage.

Einfach so solltest du nicht ein y erfinden.

Grundsätzlich gilt: Wenn du

y = ax^2 + bx + c hast und a≠1 und a≠1       |:a

y/a = x^2 + b/a * x + c/a

Will man y-Werte ausrechnen, muss man irgendwann wieder mit a multiplizieren.

Nur bei Nullstellen von y (also Resultat 0 und nicht z.B. -1) spielt es dann keine Rolle mehr, wenn man den y-Wert ausrechnen will. Grund a*0 = 0

2 Antworten

+2 Daumen

> Zwischendurch komme ich auf y = (x + 1,5)-0,25

Dabei hast du die linke Seite der Gleichung nicht durch 3 geteilt.

> Wieso klammert man bei der Scheitelpunktberechnung die Zahl vor dem x2 aus und

Brauchst du nicht. Du darfst auch einfach durch 3 teilen. Das musst du aber, wie bei Gleichungen üblich, auf beiden Seiten der Gleichung machen:

$$\begin{align*}y & =3x^{2}+9x+5 & & |\,:3\\\frac{y}{3} & =x^{2}+3x+\frac{5}{3} & & |\,-\frac{5}{3}\\\frac{y}{3}-\frac{5}{3} & =x^{2}+3x & & |\,+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} & & |\,-\frac{7}{12}\\\frac{y}{3} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{12} & & |\,\cdot3\\y & =3\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{21}{12}\end{align*}$$

> wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x2.?

Weil sich der Term x2 + px leichter zu einem Binom ergänzen lässt als der Term ax2 + bx.

Beispiel was passiert, wenn man das nicht macht. In der Gleichung 0 = 3x2 + 9x + 6 soll x bestimmt. Die Gleichung kann umgeschrieben werden zu

        0 = (√3·x)2 + 9x + 6

Sutrahiert man 6, dann bekommt man

        -6 = (√3·x)2 + 9x.

In der binomischen Formel (a+b)2 = a2 +2ab + b2 wählt man jetzt a = √3·x.

Dann ist 2ab = 2·√3·x · b = 9x, also ist b = 9/(2√3). Quadratische Ergänzung liefert dann die Gleichung

        (9/(2√3))2 - 6 = (√3·x)2 + 9x + (9/(2√3))2,

was sich mittels binomischer Formel zu

        (9/(2√3))2 - 6 = (√3·x + 9/(2√3))2

zusammenfassen lässt. Wurzeln ergibt

        ±√((9/(2√3))2 - 6) = √3·x + 9/(2√3),

was sich vereinfachen lässt zu

        ±√(9/12) = √3·x + 9/(2√3),

Man subtrahiert nun 9/(2√3) und dividiert anschließend durch √3 und kommt so zu

        ± √(9/36) -9/(2·3) = x.

Wie du siehst ist dieses Verfahren zwar möglich, aber umständlich.

von 42 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

>Dabei hast du die linke Seite der Gleichung nicht durch 3 geteilt<

aber die linke Seite ist ja 0 und wenn ich durch 3 teile, bleibt es bei 0

0/3 = (x + 1,5 )2 - 0,25     ??? Was ändert das?

>wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x>

ich rechne erstmal immer ohne pq-Formel und habe dann

( 3x + 1,5 )2  - 3,75 = 0    / ±√

3x +1,5 ±√   da komme ich dann nicht weiter und müsste wohl vorher durch 3 teilen

oder ??? 

Dann setzt man die Gleichung nur bei der Nullstellenberechnung auf 0.

Und bei der Scheitelpunktform bleibt das y stehen und wird hier z.B. durch 3 geteilt.

Die Nullstellen liegen auf der x-Achse und y ist in dem Moment 0 . also y = 0

Bei der Scheitelpunktberechnung ist y ja nicht unbedingt 0 und liegt irgendwo im Koordinatensystem, deshalb kann man y nicht auf 0 setzen. y bleibt also y

Das Durcheinander tut mir leid, aber das ist alles gar nicht einfach für mich...

Grüße von Ommel

+1 Daumen

3x2 + 9x +5 = -1
3x2 + 9x + 6 = 0

Diese quadratische Gleichung  kann mit der
Mitternachtsformel gelöst werden.

Wenn ich durch 3 teile entsteht
x^2 + 3x + 2 = 0

Diese quadratische Gleichung kann mit
der pq-Formel oder der quadratischen
Ergänzung gelöst werden.

Die Ergebnisse sind gleich
x = -1
x = -2

Die Lösungen entsprechen den Nullstellen
einer Parabel.

f ( x ) =  3x^2 + 9x + 6 

Herleitung der Scheitelpunktform aus der
allgemeinen Form

Scheitelpunktform
S ( xs | ys )
f ( x ) = a * ( x - xs ) + ys

f ( x ) =  3x^2 + 9x + 6
3x^2 + 9x + 6
3 * ( x^2 + 3x + 2 )
3 * ( x^2 + 3x + 1.5^2 - 1.5^2 + 2 )
3 * ( x^2 + 3x + 1.5^2 - 0.25 )

3 * ( x^2 + 3x + 1.5^2 ) - 3 * 0.25
3 * ( x + 1.5 ) ^2 - 0.75
S ( -1.5 | -0.75 )

Ist der Vorfaktor
a postiv erhöhen sich alle Funktionswerte
-0.75 ist der tiefste Punkt

a negativ verringern sich alle Funktionswerte
-0.75 ist der höchste Punkt

von 89 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...