Ich versuche seit geraumer Zeit eine andere Formel als die PQ- und die Mitternachtsformel zu finden:
Das ist mein bester Versuch, was haltet ihr davon?Hier mein Rechenweg:ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0∣−cax^2+bx+c=0 \quad |-c ax2+bx+c=0∣−cax2+bx=−c∣ : bax^2+bx=-c \quad |:b ax2+bx=−c∣ : bax2+x=−cb∣ : aax^2+x=-\frac{c}{b} \quad |:a ax2+x=−bc∣ : ax2+x=−cb⋅ax^2+x=-\frac{c}{b \cdot a} x2+x=−b⋅ac Dann Quadratische Ergänzungx2+x+(12)2=(12)2−cb⋅ax^2+x+(\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2-\frac{c}{b \cdot a} x2+x+(21)2=(21)2−b⋅acx2+x+(12)2=a⋅b4⋅a⋅b+−c⋅44⋅a⋅b x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{a \cdot b}{4 \cdot a\cdot b}+\frac{-c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b} x2+x+(21)2=4⋅a⋅ba⋅b+4⋅a⋅b−c⋅4 Wie man erkennen kann sind die Zähler gleich also kann man doch addieren:x2+x+(12)2=a⋅b−c⋅44⋅a⋅b x^2+x+(\frac{1}{2})^2=\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b} x2+x+(21)2=4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4 die linke Seite kann man vereinfachen:14(2x+1)2 \frac{1}{4}(2x+1)^2 41(2x+1)2 Dann haben wir bisher:14(2x+1)2=a⋅b−c⋅44⋅a⋅b∣ : 14 \frac{1}{4}(2x+1)^2= \frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b} \quad |: \frac{1}{4}41(2x+1)2=4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4∣ : 41(2x+1)2=(a⋅b−c⋅44⋅a⋅b)0.25(2x+1)^2= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}(2x+1)2=0.25(4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4) Jetzt die Klammerr auf der linken Seite auflösen:2x2+1=(a⋅b−c⋅44⋅a⋅b)0.25∣−1 2x^2+1= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25} \quad |-12x2+1=0.25(4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4)∣−1 Dann durch zwei teilen:x2=(a⋅b−c⋅44⋅a⋅b)0.25−12 x^2= \frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}-\frac{1}{2} \quad x2=0.25(4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4)−21x1,2=±(a⋅b−c⋅44⋅a⋅b)0.25−12 x_{1,2}= \pm\sqrt[]{\frac{\left(\frac{a \cdot b -c \cdot 4}{4 \cdot a \cdot b}\right)}{0.25}-\frac{1}{2}} x1,2=±0.25(4⋅a⋅ba⋅b−c⋅4)−21LG
Anton
Die Division durch bbb ist falsch.
-b oder was?
Nein, aber du musst auch ax2ax^2ax2 durch bbb dividieren.
So?
(ax2+x)/b=-c/b
Eher (a/b)x2 + x = -c/b. Aber das wird dich wohl nicht viel weiter bringen.
Ich versuche seit geraumer Zeit eine andere Formel als die PQ- und die Mitternachtsformel zu finden
Das wird dir nicht gelingen ;)
Wenn du die Gleichung durch a oder b teilst musst du alle Summanden teilen.
Bis hier noch richtig?
ax2+bx+c=0 |-c
ax2+bx=-c |:b
(a/b)x2+x=-c/b |:(a/b)
x2+x=(-c/b):(a/b) |Kehrbruch
x2+x=-(c*b)/(b*a) |
Ich glaube, dass ich etwas gefunden habe
Beim Kehrbruch musst du auch x durch (a/b) teilen.
Das waren meine Überlegungen:ax2+bx+c=0∣−cax^2+bx+c=0 \quad |-c ax2+bx+c=0∣−cax2+bx=−c∣ : aax^2+bx=-c \quad |:aax2+bx=−c∣ : aDann quadratisch Ergänzen mit (b/2a)^2:x2+ba⋅x=−ca∣(b2a)2 x^2+\frac{b}{a} \cdot x=-\frac{c}{a} \quad |\left(\frac{b}{2a}\right)^2x2+ab⋅x=−ac∣(2ab)2x2+ba⋅x+(b2a)2=(b2a)2−ca x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} x2+ab⋅x+(2ab)2=(2ab)2−acx2+ba⋅x+(b2a)2=(b2a)2−ca x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} x2+ab⋅x+(2ab)2=(2ab)2−ac Bruch auf der rechten Seite auflösen; Binomische Formel auf der linken Seite, um zusammenzufassen:(x2+b2a)2=b24⋅a2−ca \left(x^2+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a} (x2+2ab)2=4⋅a2b2−ac Nun die Wurzel ziehen, um die Klammer aufzulösen:x+b2a=±b24⋅a2−ca∣−b2a x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a}} \quad |-\frac{b}{2a}x+2ab=±4⋅a2b2−ac∣−2abx=±b24⋅a2−ca−b2a x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{4 \cdot a^2}-\frac{c}{a}}-\frac{b}{2a} \quad x=±4⋅a2b2−ac−2ab Nunb müssen die beiden Brüch einen gleichnamigen Nenner haben, um sie zu addieren:x=±b222⋅a2+−c⋅(22⋅a)22⋅a2−b2a x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2}{2^2 \cdot a^2}+\frac{-c \cdot ( 2^2 \cdot a)}{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a} \quad x=±22⋅a2b2+22⋅a2−c⋅(22⋅a)−2ab Nun kann man sie addieren:x=±b2−c⋅(22⋅a)22⋅a2−b2a x=\pm\sqrt[]{\frac{b^2-c \cdot ( 2^2 \cdot a) }{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad x=±22⋅a2b2−c⋅(22⋅a)−2ab a wird aus der Klammer ausmultiplizert; neu sortiert:x=±−4a⋅c+b222⋅a2−b2a x=\pm\sqrt[]{\frac{-4a \cdot c+b^2}{2^2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad x=±22⋅a2−4a⋅c+b2−2ab Der Bruch wird nun mit 2 gekürzt:x1,2=±−2a⋅c+0.5⋅b22⋅a2−b2a x_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2a \cdot c+0.5 \cdot b^2}{2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}\quad x1,2=±2⋅a2−2a⋅c+0.5⋅b2−2ab Und das wars!
Hallo Anton,
du musst auch das x durch a/b teilen, so dass die vorletzte Zeile lautet
x2+bax=−cb⋅ba x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{b} \cdot \frac{b}{a} x2+abx=−bc⋅ab
Gruß, Silvia
x1,2=±−2a⋅c+0.5⋅b22⋅a2−b2ax_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2a \cdot c+0.5 \cdot b^2}{2 \cdot a^2}}-\frac{b}{2a}x1,2=±2⋅a2−2a⋅c+0.5⋅b2−2ab
f(x)=5x2+32x-323
x1,2=±−2⋅5⋅(−323)+0.5⋅3222⋅52−322⋅5x_{1,2}=\pm\sqrt[]{\frac{-2 \cdot 5 \cdot (-323)+0.5 \cdot 32^2}{2 \cdot 5^2}}-\frac{32}{2 \cdot 5}x1,2=±2⋅52−2⋅5⋅(−323)+0.5⋅322−2⋅532
x1≈5.45x2≈−11.85x_{1}≈5.45 \quad x_{2}≈-11.85x1≈5.45x2≈−11.85
Da habe ich doch meine neue Mitternachtsformel!
Das sieht sehr gut aus und Funktioniert auch, wenn du jetzt den Bruch unter Wurzel noch mit 2 erweiterst, hast du die ABC-Formel.
Sehr schöne Herleitung, Respekt
Da hast du das schon geschrieben, habe ich noch nicht gesehen, da es noch nicht aktualisiert wurde
Hey Smitty,
Was meinst Du mit "mit 2 erweitern"?
Bei den letzten zwei Schritten von dir hatte ich den vorletzten nicht gesehen.
Erweitern ist das Gegenteil vom Kürzen. Also deine Endformel wieder einen Schritt zurück.
Wie soll man dann auf die ABC-Formel kommen? Kannst du das vielleicht mal in Zahlen ausdrücken?
Gut, dann mache ich das mal ausführlich.
ABC-/Mitternachts-Formelx1/2=−b2a±b2−4ac4a2dein Vorletzter Schrittx1/2=±−4ac+b222⋅a2−b2a\text{ABC-/Mitternachts-Formel}\\{x}_{1/2}=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\\text{dein Vorletzter Schritt}\\{x}_{1/2}=\pm\sqrt{\frac{-4ac+b^2}{2^2\cdot a^2}}-\frac{b}{2a} ABC-/Mitternachts-Formelx1/2=−2ab±4a2b2−4acdein Vorletzter Schrittx1/2=±22⋅a2−4ac+b2−2ab
Wenn du das umstellst kommst du auf die ABC-Formel, sprich b2 b^2 b2 und und −4ac -4ac −4ac tauschen und 22 2^2 22 zu 4 4 4 machen. Und zuletzt den Bruch und die Wurzel tauschen.
Stimmt! Schade.
Hallo
derselbe Fehler wie vorher! nur 2 der 3 Summanden durch a/b dividiert.
ax2+bx+c=0 kannst du auf keine Weise in x2+x=Zahl umformen.
1.wenn du eh quadratische Ergänzung machst, warum nicht gleich.
2. wenn du auf deinen Rechnungen beharrst, prüfe dein Ergebnis mit einem einfachen Zahlenbeispiel nach!
Gruß lul
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