Konvergenz oder Divergenz der Reihe: Summe_(n=0)unendlich (n!)/(en^2)

Question

Hi,

ich möchte auf Konvergenz oder Divergenz prüfen:

$$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { n! }{ { e }^{ { n }^{ 2 } } } }$$

Ich habe es mit dem Quotientenkriterium versucht und bin dannnach einigen Umformungen auf folgenden Ausdruck gekommen:

$$\frac { n+1 }{ { e }^{ 2n+1 } }$$

Jetzt würde ich das Verhalten gegen Unendlich untersuchen:

$$\lim _{ n->\infty }{ \frac { n+1 }{ { e }^{ 2n+1 } } }$$

Hierbei hänge ich gerade auch wenn WA sagt, dass es gegen 0 läuft... Aber warum ist das so? 

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen...

Answer 1

für große n gilt (n+1)<eⁿ ,

daher ist 0<(n+1)/e²ⁿ⁺¹<eⁿ/e²ⁿ⁺¹=1/eⁿ⁺¹ --> 0 für n gegen ∞