Beweis von: Limes_(n->unendlich) a^n= unendlich für a > 1

Question

vielleicht kann ja jemand helfen, das wäre echt spitze. Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das beweisen kann, mit Induktion geht das jedenfalls nicht, denke ich.

Beweisen Sie, dass der

lim (mit n gegen unendlich) von a^n= unendlich ist für a>1 .

Wie soll man das bitte beweisen? Es ist so offensichtlich, dass das stimmt.

Comments

Ach ja:

a > 1

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EDIT: Habe das oben ergänzt. Für welche a soll das genau gezeigt werden?

Ist vielleicht a eine beliebige reelle Zahl grösser als 1 und n eine natürliche Zahl?

Answer 1

Sei x = a-1 und y ∈ ℝ mit y > x. Ferner sei m∈ℕ so dass mx > y ist (m existiert, weil ℝ archimedisch angeordnet ist).

Dann ist y < mx < 1 + mx ≤ (1 + x)^m = a^m. Dabei gilt 1 + mx ≤ (1 + x)^m wegen der bernoullischen Ungleichung.

Laut Definition der bestimmten Divergenz ist dann lim_n→∞ aⁿ = ∞.