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$$a)\quad\sum _ { k = 1 } ^ { n } k \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \quad b )\quad \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } k \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right)$$

Ich sitze jetzt schon mindestens zwei Stunden an dieser Aufgabe, finde aber keinen vernünftigen Ansatz. Wahrscheinlich ist es ziemlich einfach, das alles auf (x+y)^n zu bringen, wenn man erstmal die richtige Idee hat, aber ich komm einfach nicht drauf...

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Bei a) kommst Du mit folgender Umstellung zum Ziel:

$$ k * \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) = \frac { k * n ! } { k ! * (n-k)!} = \frac { k * n! } { k ! * k * ( n - 1 - k ) ! } = \frac { n ! } { k ! * ( n - 1 - k ) ! } = n * \frac { ( n - 1 ) ! } { k ! * ( n - 1 - k ) ! } = n * \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) $$

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k * \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k } \end{array} \right) = n * \left( \begin{array} { c } { n } \\ { n } \end{array} \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } n * \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) = n + n * \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) = n + n * \left( 1 ^ { n - 2 } 1 ^ { 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 3 } 1 ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) + \ldots + 1 ^ { 1 } 1 ^ { n - 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 2 } \end{array} \right) + 1 ^ { 0 } 1 ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 1 } \end{array} \right) \right) = n * \left( 1 ^ { n - 1 } 1 ^ { 0 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 1 } 1 \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 3 } 1 ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) + \ldots + 1 ^ { 1 } 1 ^ { n - 2 } \left( \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { n - 2 } \end{array} \right) + 1 ^ { 0 } 1 ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 1 } \end{array} \right) \right) = n * ( 1 + 1 ) ^ { n - 1 } = n * 2 ^ { n - 1 } $$

binomische Formel

bei b) wäre es n*(1-1)n-1 = 0

Beantwortet von 2,3 k

Ich habe gerade gesehen, dass es in obiger Herleitung von mir noch einen Fehler hat. Das Endresultat sollte zwar stimmen, aber auf der 2. Zeile gibt es n* (n-1 tief k-1).

Um sich das Ganze vorstellen zu können, kann man auch das Thema Teilmengen beiziehen. Die Summe stellt dann die Teilmengen mit 1,2,3...n-1 Elementen dar, multipliziert mit n. Das Ergebnis n*2n-1 ist die Summenformel für Teilmengen, multipliziert mit n.

(Ich hoffe, ich finde morgen Zeit, um die Herleitung zu korrigieren.)

Wie angekündigt folgt hier nun die Korrektur der obigen Herleitung für Aufgabe a). Zum Thema echte/unechte Teilmengen siehe hier:
https://www.mathelounge.de/3246/stochastik-einige-fragen (Beitrag von Julian Mi)

binomische Formel für (1+1)^{n-1}

 

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