Summen berechnen mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes

Question

$$ a) \quad\sum _ { k = 1 } ^ { n } k \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) \\ b )\quad \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { k } k \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right)$$

Ich finde keinen vernünftigen Ansatz. Wahrscheinlich ist es ziemlich einfach, das alles auf \( (x+y)^n \) zu bringen, wenn man erstmal die richtige Idee hat, aber ich komm einfach nicht drauf.

Answer 1

Bei a) kommst Du mit folgender Umstellung zum Ziel:

$$ k * \left( \begin{array} { l } { n } \\ { k } \end{array} \right) = \frac { k * n ! } { k ! * (n-k)!} = \frac { k * n! } { k ! * k * ( n - 1 - k ) ! } = \frac { n ! } { k ! * ( n - 1 - k ) ! } = n * \frac { ( n - 1 ) ! } { k ! * ( n - 1 - k ) ! } = n * \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) $$

$$ \sum _ { k = 1 } ^ { n } k * \left( \begin{array} { c } { n } \\ { k } \end{array} \right) = n * \left( \begin{array} { c } { n } \\ { n } \end{array} \right) + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } n * \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) = n + n * \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { k } \end{array} \right) = n + n * \left( 1 ^ { n - 2 } 1 ^ { 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 3 } 1 ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) + \ldots + 1 ^ { 1 } 1 ^ { n - 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 2 } \end{array} \right) + 1 ^ { 0 } 1 ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 1 } \end{array} \right) \right) = n * \left( 1 ^ { n - 1 } 1 ^ { 0 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 1 } 1 \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + 1 ^ { n - 3 } 1 ^ { 2 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { 2 } \end{array} \right) + \ldots + 1 ^ { 1 } 1 ^ { n - 2 } \left( \begin{array} { l } { n - 1 } \\ { n - 2 } \end{array} \right) + 1 ^ { 0 } 1 ^ { n - 1 } \left( \begin{array} { c } { n - 1 } \\ { n - 1 } \end{array} \right) \right) = n * ( 1 + 1 ) ^ { n - 1 } = n * 2 ^ { n - 1 } $$

bei b) wäre es n*(1-1)^n-1 = 0

Comments

Ich habe gerade gesehen, dass es in obiger Herleitung von mir noch einen Fehler hat. Das Endresultat sollte zwar stimmen, aber auf der 2. Zeile gibt es n* (n-1 tief k-1).

Um sich das Ganze vorstellen zu können, kann man auch das Thema Teilmengen beiziehen. Die Summe stellt dann die Teilmengen mit 1,2,3...n-1 Elementen dar, multipliziert mit n. Das Ergebnis n*2^n-1 ist die Summenformel für Teilmengen, multipliziert mit n.

(Ich hoffe, ich finde morgen Zeit, um die Herleitung zu korrigieren.)

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Wie angekündigt folgt hier nun die Korrektur der obigen Herleitung für Aufgabe a). Zum Thema echte/unechte Teilmengen siehe hier:
https://www.mathelounge.de/3246/stochastik-einige-fragen (Beitrag von Julian Mi)