Integralrechnung Integrale unbestimmt berechnen

Question

es sind folgende unbestimmte Integrale zu lösen:

1.) ∫ √(2x+4) dx

2.) ∫ (x⁴+3x^+2x) dx

3.) ∫ (1/√(5x+7)) dx

4.) ∫ (1/1-x) dx

5.) ∫ (22x²+13x²-2x)/(x) dx

Ich hoffe Ihr könnt mir bei den Aufgaben helfen, da ich Integralrechnung gar nicht drauf habe. Ich hoffe Ihr könnt das mit der Wurzel lesen. Der Ausdruck unter der Wurzel endet mit der Klammer.

Comments

da ich Integralrechnung gar nicht drauf habe

Dann arbeite doch die Theorie nach. Was soll es denn bringen, die Aufgaben an andere weiterzureichen?

Answer 1

habe mal 2 Aufgaben gerechnet, damit Du ein "Gefühl" bekommst.

Comments

Vielen lieben Dank. Das bringt mir gerade sehr viel. Ich bin gerade dabei die 3te Aufgabe zu machen. Ich mache es durch Substitution. Ich habe aber (5x+7) substituiert und komme nicht weiter. Ist es vielleicht einfacher die Wurzel mitzunehmen?

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3. Aufgabe:

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Super danke. Ich habs auch alleine gelöst und so wie es aussieht auch richtig! Der Knackpunkt war, das man (1/5´5^1/2 umschreiben muss in z-(1/2)

Nun versuche ich aber mich an der letzten Aufgabe und so wie es aussieht, kann man dort die Substitution gar nicht benutzen. Die Stammfunktion der gebrochen rationalen Funktion könnte man herausfinden, wenn der Nenner die Ableitung des Zählers ist. Dies trifft in diesem Fall nicht zu. Heißt es also, man muss es durch ein anderes Verfahren lösen?

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letzte Aufgabe:

Falls die Aufgabe so lautet:

Answer 2

Um diese Integrale lösen zu können, benutzen wir folgende Regeln:

Potenzregel

Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion.  $$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Faktorregel 

Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden. $$\int c\cdot f(x)dx=c\cdot \int f(x)dx$$

Summen- /Differenzregel 

Das (un)bestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der (un)bestimmten Integrale. $$\int \left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$

Partielle Integration $$\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx$$

Integration durch Substitution $$\int f(x)dx=\int f(\phi (u))\cdot \phi'(u)du$$

Beim ersten Integral wenden wir zum Beispiel die Integration durch Substitution an. Wir setzen 2x+4=u und lösen nach x auf. $$2x+4=u \Rightarrow 2z=u-4 \Rightarrow x=\frac{u}{2}-2 \Rightarrow \phi (u)=\frac{u}{2}-2$$

Wir leiten die Funktion φ ab und bekommen $$\phi'(u)=\left(\frac{u}{2}-2\right)'=\frac{1}{2}$$

Wir ersetzen die Integrationsvariable $$dx=\phi'(u)du \Rightarrow dx=\frac{1}{2}du$$

Wir bekommen also folgendes: $$\int \sqrt{2x+4}dx=\int \sqrt{u}\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}$$ Wir müssen noch rücksubstituieren und bekommen: $$\int \sqrt{2x+4}dx=\frac{1}{3}\left(2x+4\right)^{\frac{3}{2}}$$

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Vielen lieben Dank für die ganzen ausführlichen Regeln ;).