lineare Unabhängigkeit einer Polynomfunktion

Question

Hi,

gegeben ist die Funktion p_(k)(t):=t^k  R->R

z.z: Ist die Menge {p_(0), p_(1), ..., p_(n)} lin unabhängig.

Mein Ansatz soweit: Ich hab mal die ersten p_(k) ausgerechnet, diese sind 1, t, t², t³,...t^n.

jetzt muss ich zeigen, dass die Summe  λ_(i) * t^i=0 wird, nur dann wenn alle λ_(i)=0 sind. (für 0=<i=<n). 

Allerdings kann ich die Summe doch ganz leicht umschreiben in λ_(0)= - Summe(λ_(1)t+λ_(2)t²+...λ_(n)t^n

demnach ist Menge {p_(0)...p_(n)} linear abhängig. 

kommt mir irgendwie etwas komisch vor, wär super wenn ihr da mal drüber schaut. :) 

Answer 1

∑_i=0..n λ_ip_i ist bei λ_n ≠ 0 eine ganzrationale Funktion vom Grad n. Eine solche kann maximal n Nullstellen haben, kann also nicht die Nullfunktion sein.