Aufgabe
n gesucht
Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit dem Parameter p = 0,25.
Bestimmen Sie den zweiten Parameter n als möglichst kleine Zahl, sodass gilt:
a) P(X = 0) ≤ 0,05
b) P(X ≤ 1) ≤ 0,1
c) P(X = n) ≤ 0,01
d) P(X ≤ 2) ≤ 0,025
Könnt ihr mir einmal einen Lösungsweg aufzeigen und erklären, ich weiß gar nicht wie man das machen soll. Habe auch einen Grafiktaschenrechner
Na, welchen Grafiktaschenrechner hast du denn?
Casio fx-CG20
a) P(X=0)= (nüber0)= 0,25^0*0,75^n= 0,75^n <=0,05
n>= ln0,05/ln0,75
b)
P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1)
P(X=1)= (nüber1)*0,25^1*0,75^0 = n*0,25
...
c) P(X=n) = (nübern)*0,25^n*0,75^0 = 0,25^n<=0,01 ...
d) P(X<=2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2) = (nüber2)*0,25^2*0,75^{n-2}
(nüber2) = n*(n-1)/2 ...
Nimm die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bionomialverteilung und stelle sie nach n um. Bei (a) erhalte ich 10.4, also 11.
Du kannst die Befehlsvariante \(BinomialCD\left(a,b,n,p\right)\) verwenden. Darin sind die Argumente a, b und p durch die jeweilige Aufgabe festgelegt und das gesuchte n lässt sich leicht durch Ausprobieren ermitteln.
Der Rechner bietet noch etliche weitere Möglichkeiten, Aufgaben wie diese zu lösen.
a)
P(X = 0) ≤ 0.05
(1 - 0.25)^n ≤ 0.05
n ≥ LN(0.05)/LN(1 - 0.25) = 10.4
n ≥ 11
P(X ≤ 1) ≤ 0.1
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^{n - 1} ≤ 0.1
Das kann leider nur numerisch gelöst werden.
n ≥ 15
c)
P(X = n) ≤ 0.01
0.25^n ≤ 0.01
n ≥ LN(0.01)/LN(0.25) = 3.3
n ≥ 4
d)
P(X ≤ 2) ≤ 0.025
(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^{n - 1} + n·(n - 1)/2·0.25^2·(1 - 0.25)^{n - 2} ≤ 0.025
n ≥ 27
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos