Konvergenzradius ermitteln bei Summe(n(x2n+5) statt Summe(n xn)

Question

ich habe eine Frage zum Konvergenzradius.

Wenn ich eine Reihe habe, dann kann man dort einen Konvergenzradius bestimmen

Für

$$\sum { n{ x }^{ n } }$$

an = n

an+1 = n+1

ist mir klar was gemacht werden muss, dafür gibt es ja die Umgedrehte Qutientenkriteriumsformel

lim |an/an+1|= r

Meine Frage ist, kann man das auch mit einer Reihe der Form:

$$\sum { n{ x }^{ 2n+5 } }$$

machen? oder wie ist dort zu verfahren?

Answer 1

Bei dieser Reihe kannst du erst mal x5 aus der Summe ziehen, da das

auf den Konv.radius keinen Einfluss hat, also

x⁵ *  ∑ n*x²ⁿ  untersuchen.

Substitution  z = x² gibt die Reihe

z5/2  *  ∑ n*zⁿ

Die hat den Konvergenzradius 1 , also 8mindestens) konvergiert für alle

z mit   -1 < z < 1 .

also muss für das x gelten   -1 < x² < 1

also auch Hierfür Konv.rad. = 1.

Comments

Danke für die Antwort,

mal angenommen ich habe sowas wie

$$\frac { { (x+3) }^{ 2n } }{ { 2 }^{ n }(n+1) }$$ oder/und

$$\frac { { x }^{ 2n } }{ { 2 }^{ n }(n+1){ x }^{ 3n+1 } }$$

Der Konvergenzradius soll berechnet werden und für welche x die Reihe konvergiert?

Wie geht man hier am besten vor?

für xⁿ gibt es ja die Formel

$$r=\lim _{ n->inf }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } } \right| }$$

das greift ja nicht, da x²ⁿ bzw. x³ⁿ⁺¹ und (x+3)²ⁿ

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Mach am besten wieder eine Substitution

wie z = (x+3)² dann hast du zⁿ

oder  im 2.Fall erst mal kürzen

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Also substituieren ist dann immer eine gute Lösung oder wie? :)

Wenn ich dann zⁿ habe kann man doch die Formel anwenden oder?

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Genau so ist es.

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Schwierig wird es dann aber wieder bei:

$$\frac { { x }^{ z } }{ 4+ { 4x }^{ 2z } }$$