Grenzwert durch Potenzreihen berechnen

Question

Lim.      X((e^4x )-1)/LN(1+x^2)

x->0

Answer 1

Nimm doch die Regel von d'Hospital.

Du hast einen Grenzwert vom Typ 0/0 , also Regel anwendbar.

Gibt

$$  \frac { (e^{4x}-1)+x*4(e^{4x}) }{ \frac { 2x }{ 1+x^2 } }$$
$$ = \frac { (e^{4x}-1+x*4e^{4x})*(1+x^2) }{ 2x }$$
immer noch Typ 0/0 , also nochmal d'Hospital

$$ = \frac { (4e^{4x}+1*4e^{4x}+x*16e^{4x})*(1+x^2) + (e^{4x}-1+x*4e^{4x})*2x }{ 2 }$$

Nun passt es: Grenzwert ist 4.

Answer 2

Potenzreihe um x=0:

e^{4x}-1≈4x

LN(1+x^2)≈x^2

--> 

x*(e^{4x}-1)/LN(1+x^2)

≈4x^2/x^2

=4