Konvergenzradius Potenzreihe: Randpunkten bei Rücksubstitution

Question

zu der gegebenen Reihe habe ich zuerst den Konvergenzradius ermittelt und dann die Randpunkte untersucht.

Bei 1. habe ich direkt t=x⁴ rücksubstituiert, also direkt nach x aufgelöst und dann die Randpunkte untersucht.

Bei 2. untersuche ich die Randpunkte vor der Rücksubstitution und komme bei 2. auf ein anderes Ergebnis als bei 1, da bei 2. ja x<-(1/9)^1/4 und bei 1. x≤-(1/9)^1/4 herauskommt.

Meine Frage ist welche Variante richtig ist und wieso die andere Variante nicht zum richtigen Ergebnis führt.

Die Reihe lautet:

∑ ((-9)^k/k)* x^4k

Zuerst habe ich t=x⁴ substituiert und bin auf R=1/9 gekommen.

MeIn Problem ist jetzt das die Randpunkte für t (-1/9 und 1/9) einmal ja eine konvergente Reihe geben t=1/9 und einmal eine Divergente (t=-1/9).

Wenn ich aber direkt wieder rücksubstituiere kriege ich ja für beide Randpunkte für das Konvergenz Intervall von x eine konvergente Reihe, also für x=(1/9)^1/4 und x= -(1/9)^1/4

Answer 1

Die Ergebnisse bekomme ich auch.

Mit x = -(1/9)^{1/4} bleibt in der Summe (-1)^{5k}/k stehen.
Das ist die (negative) konvergente, alternierende harmonische Reihe.
Negativ, weil der Grenzwert -ln(2) ist.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-9)^k}{k} x^{4k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{5k}}{k} = -ln(2) \text{ mit } x= -\left(\frac{1}{9}  \right)^{\frac{1}{4}} $$

Mit t = -1/9 bleibt in der Summe 1/k stehen.
Das ist die divergente harmonische Reihe.

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-9)^k}{k} t^{k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \ \ mit \ t = -\frac{1}{9}$$

Ich denke mal, die Ergebnisse sind in Ordnung, da es sich nach dem Einsetzen von x bzw. t, wie man oben sehen kann, um zwei verschiedene Reihen handelt.

Beste Grüße
gorgar

Comments

Danke erstmal!

Ich finde das trotzdem komisch. Wenn ich erst die Randpunkte für t betrachte und dann nach x rücksubstituiere konvergiert quasi nur ein Randpunkt. Wenn ich erst rücksubstituiere und mir dann die Randpunkt für x anschaue, konvergieren bei de Reihen der Randpunkte. Das heißt ja ich kriege zwei unterschiedliche Lösungen für das Konvergenzintervall. Das kann doch normal nicht sein?

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"Das heißt ja ich kriege zwei unterschiedliche Lösungen für das Konvergenzintervall."
Du bekommst zwei verschiedene Lösungen für zwei verschiedene Reihen.
Es ist wie es ist - ja, das ist normal. :-)
In der Ausgangsreihe sind alle Koeffizienten von x^4k Null, wenn 4 kein Teiler von k ist.
In der substituierten Reihe, der neuen Potenzreihe, sind alle Koeffizienten von t^k ungleich Null.
Das ist bedingt durch die beiden verschiedenen Exponenten, einmal 4k und einmal k.
Den beiden verschiedenen Exponenten haben wir auch zu verdanken, dass wir zwei verschiedene Reihen erhalten. Oben, in der handschriftlichen Rechnung habe ich den Unterschied deutlich gemacht. Wegen der verschiedenen Exponenten bleibt in der für x = -(1/9 )^1/4 konvergenten Ausgangsreihe (-1)^5k/k und in der für t = -1/9 divergenten, substituierten Summe 1^k/k in der Summe stehen. Durch die Substitution bekommt man eine andere Reihe mit einem anderen Konvergenzverhalten. Die Beweise sind einfach zu erdrückend, um nicht zu glauben, dass es normal ist. :-)

Beste Grüße
gorgar

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für welche x konvergiert dann meine Ausgangsreihe? Für x∈ [-⁴(1/9) ; ⁴(1/9)] , sprich beide Grenzen eingeschlossen? Das würde meine Annahme bestätigen, das man erst rücksubstituieren muss und dann eben direkt für x die Grenzen betrachtet und nicht erst für t :)

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Ja, sie konvergiert für x∈ [-⁴(1/9) ; ⁴(1/9)]
:-)