Lösung des Anfangwertsproblems gdg u'(x)= 2xu(x) + x für x ∈ ℝ , u(0) = 1

Question

Berechnen Sie die Lösung u des Anfangswertproblems

 u'(x)= 2xu(x) + x für x ∈ ℝ , u(0) = 1

Answer 1

$$ u'(x)= 2xu(x) + x $$
$$ u'(x)= x(2u(x) + 1) $$
$$ \frac 1{2u + 1} \frac {du}{dx}= x $$
$$ \int \quad \frac 1{2u + 1} \frac {du}{dx} \quad dx=\int \quad x \quad dx$$
$$ \int \quad \frac 1{2u + 1}  \quad du=\frac 12 \quad x^2 \quad +C$$
$$  \frac 1{2}  \quad \ln \vert 2u + 1\vert =\frac 12 \quad x^2 \quad +C$$
$$   \quad \ln \vert 2u + 1\vert = \quad x^2 \quad +C$$
$$   2u + 1 = e^{\quad x^2  +C}$$
$$   2u + 1 = D \cdot e^{(x^2 )}$$
$$   2u  = D \cdot e^{(x^2 )}-1$$
$$   u  = E \cdot e^{(x^2 )}- \frac 12$$

Comments

Die Herleitung ist nicht ganz korrekt:

>  2u + 1  =  e^{x^2+c}    ...    u = E * e^{x^2} - 1/2  

führt nur zu positiven Konstanten E = e^c / 2  

Richtig ist

2u + 1  =   ±  e^{x^2+c}

was E ∈ ℝ \ {0}  ergibt

u = -1/2  muss wegen der Division durch 2u+1 sowieso gesondert überprüft werden und ergibt sich durch Einsetzen in die DGL ebenfalls als Lösung.

Also:   u = E * e^{x^2} - 1/2   mit  E∈ℝ