Wie kann man überprüfen ob man den Schnittkreis richtig berechnet hat?

Question

Hi,

gibt es eine Möglichkeit zu überprüfen ob man den Schnittkreis von 2 Kugeln richtig berechnet hat?

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Hast du denn überhaupt schon eine Kreisgleichung oder bist du noch auf der Suche? Hier z.B. hattest du erst eine Ebenengleichung https://www.mathelounge.de/456368/bestimmen-sie-schnittebene-kugeln-…

In welcher Form liegt die zu prüfende Lösung vor?

Answer 1

Die Kreisgleichung für eine Kreis mit Mittelpunkt $m$ und Radius $r$ im  Raum (weil Kugeln) wird wohl so aussehen:

$$k(\varphi) = m + e_1 \cdot r \cdot cos \varphi + e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi$$

wobei $e_1$ und $e_2$ zwei Einheitsvektoren sind, die orthogonal zueinander stehen, und die Kreisebene aufspannen. Um zu prüfen ob dies der Schnittkreis von zwei Kugeln mit den Mittelpunkten  $M_{1,2}$ und den Radien $R_{1,2}$ ist, prüfe man zunächst ob $m - M_1$ kollinear zu $m - M_2$ liegt. Weiter muss gelten, dass

$$m - M_i \perp e_j \quad \text{bzw.} \space (m - M_i) \cdot e_j =0$$

ist. Also die Einheitsvektoren müssen senkrecht auf der Verbindung der Mittelpunkte stehen. Auch muss natürlich

$$e_1 \perp e_2 \quad \text{bzw.} \space e_1 \cdot e_2 =0$$

sein.

Als letzten Punkt bestimme man noch die Entfernung von $k(\varphi)$ zu $M_{1,2}$ - es muss in jedem Fall der zugehörige Radius heraus kommen. Der Einfachheit halber berechne man das Quadrat $a^2$ des Abstands:

$${a_{i}}^2 = \left(M_{i} - k(\varphi)\right)^2= {M_{i}}^2 - 2 M_{i} k(\varphi) + k^2(\varphi)$$

$$\space = {M_{i}}^2 -2 M_{i} \cdot m - 2 M_{i} \cdot e_1 \cdot r \cdot \cos\varphi -2 M_{i} \cdot e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi \\ \quad + m^2 + r^2 + 2m \cdot e_1 \cdot r \cdot cos \varphi + 2 m \cdot e_2 \cdot r \cdot \sin\varphi$$

$$\space = {M_{i}}^2 -2 M_{i} \cdot m + m^2 + r^2 + 2(m -M_i)( e_1 \cdot r \cdot \cos \varphi + e_2 \cdot r \cdot \sin \varphi )$$

das hintere Produkt wird zu 0, da die $e_j$ senkrecht auf der Verbindung der Mittelpunkte $(m-M_i)$ stehen (s.o.)

$$\space = (M_i - m)^2 + r^2$$

übrig bleibt der schlichte Pythagoras. Es muss gelten, dass ${a_i}^2= {R_i}^2$ ist.

Sind alle vier Bedingungen erfüllt, so ist der Kreis $k(\varphi)$ der Schnittkreis der Kugeln.

Gruß Werner

Answer 2

Du kannst z.B. schauen, ob der Mittelpunkt M_(s) des Schnittkreises  auf der Verbindungsstrecke der beiden Kugelmittelpunkte M_(1) und M_(2) liegt.

Ausserdem sollte für jeden Punkt P auf dem Schnittkreis gelten, dass sie gleich weit von M_(s) entfernt sind und

dass das Skalarprodukt

M_(S)P  * M_(S)M_(1) = 0

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Ist die Verbindungs strecke der Richtungsveltor also M2-m1?

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M_SP  * M_AM(1) = 0 

was ist MaA?

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Sorry. Sollte M_SP  * M_SM₁ = 0  heissen. Habe das  oben inzwischen korrigiert.