Taylorpolynom mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion bestimmen

Question

f(x,y,z)=(1-z)*e^{(x-y^2)}

Ich soll für diese Funktion das Taylorpolynom 2. Ordnung zum Entwicklungspunkt (0,0,0) mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion bestimmen.

Ich habe es schon mit dem Gradienten und der Hessematrix bestimmt und komme auf

T(x)=1+x-z+1/2(x²-2xz-2y²)

Die Funktion f kann ich auch schreiben

f(x,y,z)=(1-z)*∑(von k=0 bis ∞) über ((x-y²)^k)/k!

Allerdings komme ich jetzt leider nicht mehr weiter, weil meine Umformungen nicht zu dem Taylorpolynom geführt haben. Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnte

Answer 1

Hi
$$  f(x,y,z) \approx (1 - z ) \sum_{k=0}^2 \frac{(x-y^2)^k}{k!} = (1 - z) \left( 1 + x - y^2 + \frac{1}{2}(x-y^2)^2 \right) \\(1 - z) \left( 1 + x - y^2 + \frac{1}{2}x^2  -xy^2+\frac{1}{2}y^4 \right) $$
Durch streichen alle Terme die eine höhere Ordnung als 2 haben, ergibt sich
$$ f(x,y,z) = 1 + x -y^2 + \frac{1}{2}x^2 - {xy^2} + \frac{1}{2}y^4 - z - zx + zy^2 - \frac{1}{2}zx^2+zxy^2-\frac{1}{2}zy^4 = 1+x-y^2+\frac{1}{2}x^2-z-zx $$

Damit hast Du das gleiche wie vorher.