Tangentengleichung berechnen.

Question

.Es geht um folgende Funktionen:

y=sin^3(t) und x=cos^2(t) (in Parameterdarstellung)

Ich soll nun die Gleichung der Tangenten im Punkt

P{1/4 , (3*sqrt(3))/8 } angeben.

Dafür hab ich y'= 3*sin^2(t)*cos(t) berechnet.

für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt.

(Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)

Dann alles y=mx+b eingeben.

Bekomme aber was falsches raus.

Lösung soll sein:

y= -(3*sqrt(3))/4 * x + (9*sqrt(3))/16

! t gilt für -pi/2 bis pi/2

Danke für die Hilfe

Answer 1

Dafür hab ich y'= 3*sin²(t)*cos(t) berechnet.

für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt.

(Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)

Du musst den Tangentialvektor  ( x '(t)  ; y '(t) )  an dem Punkt bestimmen.

Dazu  musst ja das t so bestimmen, dass

y= und x=cos²(t) P{1/4 , (3*sqrt(3))/8 }

cos²(t)   =  1/4   und  sin³(t) = 3*sqrt(3)/8

==>  cos(t) = ±1/2   ==>  t = ±pi/3

Nur für den positiven Wert gilt   sin³(t) = 3*sqrt(3)/8, also  t = pi/3

Und   x '(t)  = - 2 cos(t) * sin(t) und y ' hattest du ja y'= 3*sin²(t)*cos(t)

  t = pi/3 einsetzen gibt Tangentialvektor ( - 0,5√3   ;  9/8 ) , also

Steigung  m = ( 9/8 )  / (- 0,5√3  )  = - 0,75*√3

Das stimmt schon mal. Jetzt noch bei

y =  - 0,75*√3  * x + n den Punkt einsetzen und n ausrechnen.

Punkt war ja 1/4 , (3*sqrt(3))/8

Answer 2

Du schreibst: "für t hab ich dann x = 1/4 eingesetzt. (Wobei ich glaube das hier der Fehler liegt, wüsste aber nicht was ich stattdessen einsetzen soll)"

Das siehst Du richtig - \(t \ne x\). Um die Tangente zu bestimmen, benötigst Du einen Punkt und die Steigung der Tangente. Der Punkt P ist bereits gegeben - fehlt noch die Steigung. Und die ist:

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}= \frac{\dot y}{ \dot x}$$

$$\dot y = 3 \sin^2{(t)} \cos{(t)}; \quad \dot x = -2 \sin{(t)}\cos{(t)} $$

$$y' = \frac{ 3 \sin^2{(t)} \cos{(t)}}{-2 \sin{(t)}\cos{(t)}}= \frac{-3}{2}\sin{(t)}$$

und die Steigung im Punkt P ist dann

$$y'(t_P)=\frac{-3}{2}\sin{(t_p)}=\frac{-3}{4} \sqrt{3} \quad \text{da} \space y=\sin^3{(t)} \space\Rightarrow \sin{(t_P)}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$$

Die Geradengleichung der Tangente ist dann

$$g(x) = \frac{-3}{4} \sqrt{3}\left( x - \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{8} \sqrt{3}=\frac{-3}{4}\sqrt{3}x +\frac{9}{16} \sqrt{3}$$

Gruß Werner

Answer 3

Hier meine Berechnungen

Comments

Deine Lösung weicht ja offensichtlich von der des Aufgabenstellers ab, der also in deinen Augen doch wohl Fehler macht. Warum übernimmst du dann so fürchterlich unkritisch seinen y-Wert anstatt den auch erst mal auf Richtigkeit zu überprüfen ?