Spiegelung und Projektion

Question

Die Aufgabe lautet:

ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich die Aufgabe lösen soll..

Über Hilfe würde ich mich freuen!

Answer 1

Du brauchst doch nur die Bilder der kanonischen Basisvektoren, die

bilden immer die Spalten der gesuchten Matrix.

Bei der Projektion auf U bildest du das Lot auf U und berechnest den Lotfußpunkt,

also  für ( 1;0;0) ist das  Lot  L: x =   ( 1;0;0) + t *( 1;1;1)

denn ( 1;1;1) ist ein Normalenvekotr für U.

Schnitt ergibt  1+t + t + t = 0 also t = -1/3

Damit ist der Lotfußpunkt ( 2/3 ; -1/3 ; -1/3 ) . Das ist die erste Spalte der

Matrix für die Projektion.

Spiegeln: Den Spiegelpunkt von   ( 1;0;0)  erhältst du also für t= -2/3 .

Also gibt  ( 1/3 ; -2/3 ; -2/3 ) die erste Spalte der Spiegelungsmatrix.

Entsprechendes mit ( 0;1;0) und (0;0;1) und du hast es.

Comments

Erspare dir die Hälfte der Arbeit durch   S + E  =  2P .

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Hmm ok. Wir haben sowas bisher noch nicht gemacht. Daher kannte ich das Verfahren überhaupt nicht.

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Für die Spiegelung habe ich jetzt folgende darstellende Matrix raus: $$S_U= \frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\-2 &-2 & 1 \end{pmatrix}$$

Ob das richtig ist, weiß ich nicht.. Aber ich mache morgen weiter, und kann meine Ergebnisse gerne teilen :)

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Kleine Probe mit deiner Matrix

Su * (1;1;1)^T = ( -1 ; -1 ; -1 )^T passt jedenfalls.

oder mal für einen Fixpunkt, etwa ( -1 ; 1 ; 0 )  klappt es auch.

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Hoffe das ist so jetzt alles richtig. Ich weiß nur nicht wie man auf auf t= -2/3 kommt.. Verdoppelt man dann einfach die -1/3 oder?..

Hier jetzt mal mein kompletter Lösungsweg Für $(1,0,0)$folgt das Lot:

$(1,0,0)+t(1,1,1) = 1+t+t+t = \frac { -1}{ 3 }$

Dementsprechend folgt die erste Spalte mit:

$\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}-\frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac { 2 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3}\end{pmatrix}$

 $$\\$$Dementsprechend folgt für die zweite und dritte Spalte jeweils:

$\begin{pmatrix} \frac { -1 }{ 3 }\\\frac { 2 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3}\end{pmatrix} und\begin{pmatrix} \frac { -1 }{ 3 }\\\frac { -1 }{ 3 }\\\frac { 2 }{ 3}\end{pmatrix}$.

Die darzustellende Matrix der orthogonalen Projektion lautet also: $$P_U=\frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}$$

Kommen wir nun zur Spiegelung:

Ich weiß leider nicht wie du auf t= $\frac { -2 }{ 3}$gekommen bist..

Die erste Spalte habe ich berechnet mit:

$\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}-\frac { 2 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3}\end{pmatrix}$...

Dann folgen die zwei weiteren Vektoren mit: $\begin{pmatrix} \frac { -2 }{ 3 }\\\frac { 1 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3}\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} \frac { -2 }{ 3 }\\\frac { -2 }{ 3 }\\\frac { 1 }{ 3}\end{pmatrix}$.

Die darzustellende Matrix der Spiegelung lautet also: $$S_U= \frac { 1 }{ 3 }\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\-2 &-2 & 1 \end{pmatrix}$$

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Ich weiß leider nicht wie du auf t= −23 \frac { -2 }{ 3} gekommen bist..

Wenn du vom Punkt bis zum Projektionspunkt

für t = -1/3 hast, dann ist es zum Spiegelpunkt das Doppelte, also -2/3.

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Ah ok danke. Ist es sonst richtig?

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Ja, sieht gut aus.