Ausdruck mit Wurzeln und Brüche vereinfachen und beweisen

Question

ich stehe gerade vor dem Problem, dass ich diesen Ausdruck nicht vereinfachen kann:

Ich muss nämlich zeigen, dass für alle n∈ℕ gilt.

Am Ende muss es halt mit einem Auge erkennbar sein und die meisten n müssen verschwinden.
Ich vermute, dass man alles auf einen Nennen bringen soll und dann vieles weg kürzen kann aber irgendwie klappt es bei mir nicht.

Würde mich über Unterstützung freuen :)

PS: Für Wolfram Alpha nochmal notiert: -(2/root(n))+(1/((n+1)root(n+1))) <= -(2/root(n+1))

Answer 1

$$-\frac { 2 }{ \sqrt { n } }+\frac { 1 }{ (n+1)*\sqrt { n+1 } } \leq -\frac { 2 }{ \sqrt { n+1 } }$$
$$mal \sqrt { n }*\sqrt { n+1 }gibt$$
$$-2* \sqrt { n+1} +\frac { \sqrt { n} }{ (n+1) } \leq -2*\sqrt { n}$$
$$\frac { \sqrt { n} }{ (n+1) } \leq 2* \sqrt { n+1} -2*\sqrt { n}$$

rechte Seite mit √n+1 + √n erweitern gibt

$$\frac { \sqrt { n} }{ (n+1) } \leq 2* \frac { (\sqrt { n+1} -\sqrt { n})*(\sqrt { n+1} +\sqrt { n}) }{ (\sqrt { n+1} +\sqrt { n}) }$$
$$<=>\frac { \sqrt { n} }{ (n+1) } \leq 2* \frac {1 }{ (\sqrt { n+1} +\sqrt { n}) }$$
$$<=> \sqrt { n}*(\sqrt { n+1} +\sqrt { n}) \leq 2* (n+1)$$
$$<=> \sqrt { n}*\sqrt { n+1} +\sqrt { n}*\sqrt { n} \leq 2* (n+1)$$

Da  √n+1  > √n , also

$$\sqrt { n}*\sqrt { n+1} +\sqrt { n}*\sqrt { n} \leq \sqrt { n+1}*\sqrt { n+1} +\sqrt { n}*\sqrt { n} =n+1 + n =2n+1<2(n+1)$$

q.e.d.