Beweis Produkt von bestimmten Differenzen durch 288 teilbar

Question

man nimmt fünf natürlich Zahlen, die nicht den gleichen Wert haben. dann rechnet man alle Differenzen aus und multipliziert (nur) die Ergebnisse über 0. Das Produkt lässt sich immer durch zweihunertachtundachtzig dividieren. Wie kann man das beweisen?

Ich habe schon herausgefunden, dass bei den kleinstmöglichen Zahlen (1, 2, 3, 4, 5) nachdem man alle Schritte durchgeführt hat schließlich genau zweihundertachtundachtzig herauskommt.

Muss man da vielleicht irgendwie mit Vielfachen argumentieren?

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Vom Duplikat:

Titel: Bildet man fünf verschiedenen natürlichen Zahlen alle möglichen positiven Differenzen je zweier dieser Zahlen …

Stichworte: differenzen,produkt,natürliche-zahlen

Aufgabe:

Zeige: Bildet man fünf verschiedenen natürlichen Zahlen alle möglichen positiven Differenzen je zweier dieser Zahlen, so ist das Produkt aller Differenzen durch 288 teilbar.

Answer 1

die Zahl 288 zerfällt in die Primfaktoren 288 = 2^5 * 3^2. Seien

0 < a < b < c < d < e die besagten fünf natürlichen Zahlen.

Dann ist das zu untersuchende Produkt gegeben durch

P = (b-a)(c-a)(d-a)(e-a)*(c-b)(d-b)(e-b)*(d-c)(e-c)*(e-d).

Dieses Produkt enthält 2^5 als Teiler. Dies sieht man dadurch ein, dass die Differenz aus zwei geraden Zahlen gerade ist und auch die Differenz aus zwei ungeraden Zahlen ist gerade. Sind a, b, c, d, e alle gerade oder alle ungerade, so ist 2^5 trivialerweise ein Teiler von P, da P ja dann insgesamt 10 Differenzen von ausschließlich geraden (bzw. ungeraden) Zahlen enthält und somit sogar 2^{10} ein Teiler von P ist. Jede der fünf Zahlen kommt in P in genau vier Differenzen vor. Ist eine Zahl ungerade und die anderen vier Zahlen gerade, so sind noch 6 der Differenzen gerade und 2^6 ein Teiler von P. Sind zwei Zahlen ungerade und die anderen drei Zahlen gerade. Dann sind vier Differenzen auf den ersten Blick gerade und 2^4 teilt P. Die fünfte 2 bekommen wir durch die Überlegung, dass eine dieser Differenzen wenigstens durch 2^2 teilbar sein muss. Schauen wir uns dafür die drei Differenzen der gerade Zahlen an, die o.B.d.A. die Bezeichnungen c, d und e haben:

c = 2x, d = 2y und e = 2z. x < y < z. Es genügt jetzt bereits zu zeigen, dass eine der Differenzen (y-x), (z-x), (z-y) durch zwei teilbar ist. Dies ist leicht einzusehen, denn sind zwei der Differenzen ungerade, so ist die dritte gerade. Es können nicht alle drei Differenzen zugleich ungerade sein.

Die Fälle 3 ungerade Zahlen mit 2 geraden und so weiter lassen sich auf die beiden erstgenannten Fälle zurückführen.

Damit ist gezeigt: 2^5 ist ein Teiler von P.

Jetzt muss nur noch gezeigt werden: 3^2 ist ein Teiler von P.

Fortsetzung folgt...

MfG

Mister

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Fortsetzung:

Es seien w, x, y und z wie folgt eingeführt:

(b - a) = w

(c - a) = x

(d - a) = y

(e - a) = z

und daraus folgend

(c - b) = x - w

(d - b) = y - w

(e - b) = z - w

(d - c) = y - x

(e - c) = z - x

(e - d) = z - y.

Das Produkt P wird nun zu

P = wxyz(x-w)(y-w)(z-w)(y-x)(z-x)(z-y).

Wir führen noch die Modulo-Schreibweise ein, das heißt wir betrachten w, x, y, z als Restklassen-Repräsentanten modulo 3. Diese nehmen die Werte 0, 1 oder 2 modulo 3 an.

Es gibt nun zwei Fälle:

Fall I: 3 teilt wxyz und o.B.d.A. teile 3 die Zahl w, das heißt gelte w = 0 (mod (3)). Dann bleibt zu zeigen, dass

P* = x^2 y^2 z^2 (y-x)(z-x)(z-y) auch durch 3 teilbar ist. Und dies ist in der Tat so, denn seien x, y und z nicht durch 3 teilbar, dann nehmen sie die Werte 1 und 2 modulo 3 an. Das heißt, mindestens eine der Differenzen (y-x), (z-x), (z-y) ist 0 modulo 3, bzw. durch 3 teilbar und der Beweis ist abgeschlossen.

Fall II: 3 teilt nicht wxyz. Das heißt wieder w, x, y und z nehmen die Werte 1 oder 2 modulo 3 an. Dies wiederum impliziert, dass mindestens zwei der Differenzen (x-w), (y-w), (z-w), (y-x), (z-x) und (z-y) durch 3 teilbar sind. Das bedeutet, dass 3^2 das Produkt P teilt.

Damit ist der Beweis abgeschlossen und 2^5 3^2 teilt tatsächlich immer P.

PS: Dieselbe vereinfachte Argumentation mithilfe der Modulo-Schreibweise wäre übrigens schon im Beweis für die Teilbarkeit durch 2^5 möglich gewesen.

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Wie kann man denn ohne Modulo-Schreibweise beweisen, dass 3^2 ein Teiler von P ist? Auch wenn das etwas aufwändiger ist...

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Ja. Du ersetzt dann die Modulo-Schreibweise, die ja nur eine Vereinfachung einer bestimmten Darstellung von Zahlen ist, durch diese etwas umfangreichere Darstellung. Die Argumentation bleibt die gleiche.

Diese bestimmte Darstellung funktioniert wie folgt:

Ist zum Beispiel a === 1 (mod (3)), so kann man a auch darstellen als a = x*3 + 1. Ist a === 2 (mod (3)), so kann man a darstellen als a = x*3 + 2. Ist a hingegen durch 3 teilbar so besitzt es die Darstellung a = x*3 (oder 3*x).

Ist nun a = x*3 + 1 und b = y*3 + 1, so ist (a - b) = x*3 - y*3 = (x - y) * 3 durch 3 teilbar. Nicht so bei a = x*3 + 1 und b = y*3 + 2. Hier ist (a - b) = (x - y) * 3 - 1 nicht durch 3 teilbar ("Rest -1" ist so wie "Rest +2" bei Division durch 3). Die Modulo-Schreibweise ist also wirklich nur eine Abkürzung einer komplizierteren Darstellung.

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt:

Beweis:

Um zu zeigen, dass das Produkt aller möglichen positiven Differenzen von fünf verschiedenen natürlichen Zahlen durch 288 teilbar ist, betrachten wir zunächst, wie viele Differenzen es gibt und wie die Teilbarkeitseigenschaften aussehen.

Seien \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), und \(e\) fünf verschiedene natürliche Zahlen mit \(a < b < c < d < e\). Es gibt \({5 \choose 2} = 10\) Möglichkeiten, zwei Zahlen aus diesen fünf auszuwählen, um die Differenz zu bilden. Diese Differenzen sind \(e-d\), \(e-c\), \(e-b\), \(e-a\), \(d-c\), \(d-b\), \(d-a\), \(c-b\), \(c-a\), und \(b-a\).

Um die Teilbarkeit durch 288 zu untersuchen, betrachten wir zunächst die Primfaktorzerlegung von 288. Es gilt \(288 = 2^5 \cdot 3^2\). Um also zu zeigen, dass das Produkt aller Differenzen durch 288 teilbar ist, müssen wir sicherstellen, dass in der Primfaktorzerlegung des Produktes mindestens fünf Zweien und mindestens zwei Dreien vorkommen.

Teilbarkeit durch \(2^5\):

Da jede Differenz zweier unterschiedlicher ganzer Zahlen entweder gerade oder ungerade ist, und weil mindestens eine Differenz zwischen zwei konsekutiven Zahlen (wie \(b-a\), \(c-b\), \(d-c\), und \(e-d\)) ungerade und damit nicht teilbar durch 2 ist, müssen wir die geraden Differenzen betrachten. Es ist jedoch zu beachten, dass sobald eine Differenz gerade ist, ihre Faktorisierung mindestens \(2^1\) enthält. Angenommen, die größte Differenz \(e-a\) ist gerade, es ist wahrscheinlich, dass wir mehrere gerade Differenzen erhalten, insbesondere wenn die Zahlen alternieren (ungerade-gerade-ungerade usw.). Jede der geraden Differenzen trägt zum Faktor 2 bei. Da wir jedoch Beliebigkeit in unserer Auswahl haben und nicht jede Konfiguration manuell überprüfen können, müssen wir uns auf eine explizitere Strategie für die allgemeine Teilbarkeit verlassen.

Teilbarkeit durch \(3^2\):

Jede natürliche Zahl ist kongruent zu 0, 1, oder 2 modulo 3. Wenn wir fünf natürliche Zahlen auswählen, dann gilt nach dem Schubfachprinzip (oder Pigeonhole Principle), dass mindestens zwei der Zahlen den gleichen Rest bei Division durch 3 haben. Dies bedeutet, dass ihre Differenz ein Vielfaches von 3 ist. Da wir dies für unterschiedliche Paare durchführen können, ist das Produkt der Differenzen durch mindestens \(3^2\) teilbar.

Abschließende Betrachtung:

Der bisherige Beweisansatz liefert allgemeine Überlegungen zur Teilbarkeit durch 2 und 3. Allerdings ist der kritische Punkt die detaillierte Untersuchung der spezifischen Differenzen und deren Beitrag zum Gesamtprodukt. Da der direkte Nachweis der Teilbarkeit durch \(2^5\) und \(3^2\) komplexe Überlegungen erfordert und diese vereinfachte Betrachtung nicht direkt zum Ziel führt, muss an dieser Stelle klargestellt werden, dass die detaillierte Betrachtung aller möglichen Konstellationen und Kombinationen der Differenzen notwendig wäre, um die vollständige Teilbarkeitsaussage zu beweisen. Eine allgemeinere und gründlichere mathematische Untersuchung würde dabei helfen, die genauen Bedingungen und Kombinationen zu identifizieren, unter denen die Teilbarkeit durch 288 sichergestellt ist, einschließlich der genauen Betrachtung der Vielfachen von 2 und 3 in den Produkten der Differenzen. Die obige Erklärung gibt eine erste Intuition, weist aber auf die Komplexität hin, die bei der genauen Beweisführung berücksichtigt werden muss.