Matrix finden für zweite Ableitung von ƒ(x,y) = exy + ylnx

Question

Wer kann mir helfen, sowas zu lösen? kenn mich leider überhaupt nicht in Mahte aus:

1. Find the Matrix of second derivatives of ƒ(x,y) = e^xy + ylnx

 

2. Find the center and the radius of the circle: x² + 4 x + y²  - 7y = 0

 

Wäre sehr sehr dankbar für gute hilfe,

danke

Answer 1

2. Find the center and the radius of the circle: x² + 4 x + y²  - 7y = 0

x² + 4x + y² - 7y = 0
x² + 4x + 2² + y² - 7y + 3.5² = 2² + 3.5²
(x + 2)² + (y - 3.5)² = 16.25

Center M(-2, 3.5)

Radius r = √16.25 = √65/2 = 4.031128874

Comments

1. Find the Matrix of second derivatives of ƒ(x,y) = e^xy + ylnx

Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix

f = e^x·y + y·LN(x)

df/dx = y·e^x·y + y/x
df/dy = x·e^x·y + LN(x)

d²f/dxdx = y²·e^x·y - y/x²
d²f/dxdy = e^x·y·(x·y + 1) + 1/x
d²f/dydx = e^x·y·(x·y + 1) + 1/x
d²f/dydy = x²·e^x·y

Hesse-Matrix

y^2·e^{x·y} - y/x^2	e^{x·y}·(x·y + 1) + 1/x
e^{x·y}·(x·y + 1) + 1/x	x^2·e^{x·y}

Answer 2

Hi,

doch. Du musst folgende, sogenannte partielle Ableitungen bilden:

∂^2 f/∂x^2, ∂^2 f/∂x∂y, ∂^2 f/∂y^2 (∂^2 f/∂y∂x sollte gleich ∂^2 f/∂x∂y sein).

Bei 1. mach ich's mal beispielhaft vor:

∂f/∂x = y exp(xy) + y/x ⇒ ∂^2f/∂x^2 = y^2 exp(xy). - y/x^2.

Du betrachtest die eine Variable als konstant, wenn du nach der anderen ableitest und umgekehrt.

∂^2 f/∂x^2 heißt dabei, dass du rechnest ∂( ∂f/∂x ) / ∂x, also zweimal nach x ableitest.

∂^2 f/∂x∂y hingegen bedeutet,  dass du rechnest ∂( ∂f/∂x ) / ∂y, also zuerst nach x ableitest und dann nach y.

MfG

Mister


PS: Achso und die Matrix entsteht dann, indem du links oben die doppelte Ableitung nach x hinschreibst, rechts oben nach x und nach y (links unten auch) und schließlich rechts unten die doppelte Ableitung nach y.

Comments

Wenn du im Internet nachsehen willst. Sowas nennt sich "Hesse Matrix"

---

Hm, Hessematrix also, soso...