Differentialgleichung - Lösungsweg überprüfen

Question

Ich beschäftige mich im Moment mit Differentialgleichung und würde gerne wissen, ob ich diese richtig gelöst habe.

Inhomogene Differentialgleichung: Da ao fehlt wird der Grad um 1 erhöht oder?

$A \cdot y^{\prime}+B \cdot y=\alpha x+b \rightarrow$ Homogene Dgl. $\quad A \cdot \lambda+B=0 \rightarrow \lambda=-\frac{B}{A} \rightarrow y=C \cdot e^{-\frac{B}{A}}$

$y=a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot x+c_{1}$

$y^{\prime}=2 \cdot a_{1} \cdot x^{2}+b_{1}$

einsetzen

$2 \mathrm{Aa}_{1} x+A b_{1}+B a_{1} x^{2}+B b_{1} x+B c_{1} \quad$ sortiert $\quad x^{2} B a_{1}+x\left(2 \mathrm{Aa}_{1}+B b_{1}\right)+A b_{1}+B c_{1}$

Koeffizientenvergleich

$B a_{1}=0 \rightarrow a_{1}=0 \quad 2 \mathrm{Aa}_{1}+B b_{1}=a \rightarrow b_{1}=\frac{a}{B} \quad A b_{1}+B c_{1}=b \rightarrow c_{1}=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B}$

Daraus erhalte ich $y_{[0\rangle}=\frac{a}{B} \cdot x+\frac{b-\frac{a}{B} A}{B}$ Allgemein: $Y=C e^{-\frac{B}{A}}+\frac{a}{B} x+\frac{b-\frac{a}{B}}{B}$

Nun ist noch gegeben, dass $\mathrm{y}(0)=0$

dann müsste ich doch $C=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B}$ erhalten oder?

Und das wiederum wird in die Allgemeine eingesetzt $y=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B} \cdot e^{-\frac{B}{A}}+\frac{a}{B} x+\frac{b-\frac{a}{B}}{B}$

Comments

Wegen "Inhomogene Dgl. : Da ao fehlt wird der Grad um 1 erhöht oder?"

Also ich hab das immer so verstanden, da du ax+b stehen hast und du nur eine Ableitung von Grad 1 drinnen hast, reicht es hier ein quadratisches anzusetzen.


Hättest du eine Ableitungen vom Grad 2 dann bräuchtest du schon schon ein kubisches. Weißt du was ich mein?

Bzw. war das überhaupt die Frage?


Ansonsten schauts recht gut aus. Unknown hat eh noch auf ein paar Kleinigkeiten hingewiesen. Aber ich glaub Idee hast du ansonsten verstanden. Halt modulo Rechenfehler alles richtig gemacht :) (ich machs auch nie anders)

lg

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Ah danke, das hatte ich noch vergessen zu monieren, da ichs mir bis zum Schluss aufsparen wollte :P.

Warum wurde der Ansatz

$$a_1x^2+b_1x+c$$

gewählt, wo unsere rechte Seite doch nur die Form ax+b hat?

Generell ist das natürlich egal, wie man auch hier sieht:

$$a_1=0.$$

Man arbeitetet nur mit höheren Graden, wenn es sich aus der homogenen Lösung ergibt: Stichwort: Resonanzfall

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Danke ihr zwei für eure bisherigen Antworten.

Was ist mit modulo Rechenfehler gemeint?
Ich hatte a₁x²+b₁x+c  auf die Dgl. bezogen, wahrscheinlich war das auch der Fehler, ich hätte das auf die Homogene Gleichung mit lambda beziehen müssen.
Dann erhalte ich nämlich auch a₁x+b₁

 

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Das mit modulo war ein Scherz^^.

 

Ich hatte a₁x²+b₁x+c  auf die Dgl. bezogen

Worauf hast Du Dich bezogen? Bei der Wahl des Ansatzes orientiere Dich zuerst an der rechten Seite und kontrolliere dann, ob ein Resonanzfall vorliegt. Mehr ist nicht zu tun. Du hattest das eigentlich gemacht, nur ein Glied zu viel genommen, was aber kein Fehler ist. Nur unnötig^^.

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Wenn ich aus Ay' + By = ax+b
die homogene Dgl. aufstellen will so muss ich ja
A * lambda +B = 0, in dieser Gleichung gibt es a₀ und a₁ (hier lag mein Fehler) und da die rechte Seite vom Grad 1 ist langt ein Ansatz vom Grad 1
Ich bin davon ausgegangen, dass bei Ay' + By =... das a_o Glied fehlt. Jedoch hätte ich dies erst im nächsten Schritt prüfen müssen.

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Ich hätte da noch eine Frage zu der gleichen Aufgabe.
Nun habe ich eine ähnliche Aufgabe gesehen und es wurde für die rechte Seite einfach Z(x) angenommen.
Dann kann man es ja nach dem Verfahren der konstanten Koeffizienten lösen. Aber die Ergebnisse sind doch unterschiedlich oder?

Answer 1

Hi,

ein "großer" Fehler liegt bei Deiner homogenen Lösung. Hier muss es heißen.

$$y_h = C\cdot e^{-\frac BA \color{red}x}$$

Sonst sieht das aber sehr gut aus.

In der drittletzten Zeile hast Du das A bei $$\frac aB$$ vergessen, sonst aber passt auch dies.

Falsch ist allerdings Dein bestimmen von C mittels der Anfangsbedingung. Du setzt doch für x=0 ein und das ganze soll 0 ergeben. Dann musst Du C doch erstmal auf die andere Seite bringen. Das hast Du nicht gemacht. Nimm Dein Ergebnis noch mit -1 mal, dann passt ads.

$$y=-\frac{aA}{B^2} + \frac bB + \left(\frac{aA}{B}-\frac bB\right) e^{-\frac BA x}$$

sollte rauskommen ;).

Grüße

P.S.: Ich habe den Doppelbruch aufgelöst....

Comments

Danke.

Immer diese Flüchtigkeitsfehler (ärgerlich).