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Aufgabe:

Seien G1,C1,G2,C2 \mathrm{G}_{1}, \mathrm{C}_{1}, \mathrm{G}_{2}, \mathrm{C}_{2} und ω>0. \omega>0 . In der Gleichung

1G1+iωC1=R2+1iωC2 \frac{1}{\mathrm{G}_{1}+\mathrm{i} \omega \mathrm{C}_{1}} \quad=\quad \mathrm{R}_{2}+\frac{1}{\mathrm{i} \omega \mathrm{C}_{2}}

seien

(i) ω,R2 \omega, \mathrm{R}_{2} und C2 \mathrm{C}_{2} gegeben und G1 \mathrm{G}_{1} und C1 \mathrm{C}_{1} zu berechnen;

(ii) ω,G1 \omega, \mathrm{G}_{1} und C1 \mathrm{C}_{1} gegeben und R2 \mathrm{R}_{2} und C2 \mathrm{C}_{2} zu berechnen.

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die Gleichung muss in eine Art Normalform gebracht werden:

1G1+iωC1=R2+1iωC2 \frac{1}{G_1 + i\omega C_1} = R_2 + \frac{1}{i\omega C_2}
iωC2=(R2iωC2+1)(G1+iωC1) i\omega C_2 = (R_2 i\omega C_2 + 1) (G_1 + i\omega C_1)
iωC2=iωR2C2G1+i2ω2R2C2C1+G1+iωC1 i\omega C_2 = i \omega R_2C_2G_1 + i^2 \omega^2 R_2 C_2 C_1 + G_1 + i \omega C_1
iωC2=iωR2C2G1ω2R2C2C1+G1+iωC1 i\omega C_2 = i \omega R_2C_2G_1 - \omega^2 R_2 C_2 C_1 + G_1 + i \omega C_1
i(ωC2ωC1ωR2C2G1)+(ω2R2C2C1G1)=0 i(\omega C_2 - \omega C_1 - \omega R_2C_2G_1) + (\omega^2 R_2 C_2 C_1 - G_1) = 0

Diese Gleichung wird gelöst, wenn ihr Imaginärteil und ihr Realteil verschwindet (0 wird). Der Imaginärteil ist logischerweise der Faktor nach dem "i" (links), der Realteil jener Teil, der kein i als Faktor enthält (rechts),

(i) Sind nun R2 und C2 vorgegeben, so ist durch

ωC2ωC1ωR2C2G1=0 \omega C_2 - \omega C_1 - \omega R_2C_2G_1 = 0

ω2R2C2C1G1=0 \omega^2 R_2 C_2 C_1 - G_1 = 0

ein lineares Gleichungssystem gegeben, welches es zu lösen gilt.

(ii) Sind hingegen G1 und C1 gegeben, so entsteht zwar ein nichtlineares Gleichungssystem, welches aber nicht allzu schwer zu lösen ist.

MfG

Mister

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