Wie bestimmt man den Grenzwert der Folge a_(n):= √(4n^4 + 6n^2 + 2n) - √(4n^4 + n^3 + 1)?

Question

Wie löst man folgenden Grenzwert:

$$a _ { n } = \sqrt { 4 n ^ { 4 } + 6 n ^ { 2 } + 2 n } - \sqrt { 4 n ^ { 4 } + n ^ { 3 } + 1 }$$

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Zur Kontrolle und damit du weisst, wohin die Rechnung führen sollte, einfach mal hier eingeben: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes(+%E2%88%9A(4n%5E4+%2B+6n%5E2+%2B+2n)+-+%E2%88%9A(4n%5E4+%2B+n%5E3+%2B+1)+)

Answer 1

allgemein : bei Grenzwerten der Form

a(n)=√(x) -√(y)

kann man mithilfe der dritten binomischen Formel zu

(x-y)/(√x +√y) erweitern.

Im Zähler kürzt sich nun für dein Beispiel ein Haufen. Teile zum Schluss Zähler und Nenner durch die höchste auftretende Potenz von n und lies den Grenzwert ab.

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 Ich komme nicht weiter...

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√(4·n^4 + 6·n^2 + 2·n) - √(4·n^4 + n^3 + 1)

= ((4·n^4 + 6·n^2 + 2·n) - (4·n^4 + n^3 + 1)) / (√(4·n^4 + 6·n^2 + 2·n) + √(4·n^4 + n^3 + 1))

= (- n^3 + 6·n^2 + 2·n - 1) / (√(4·n^4 + 6·n^2 + 2·n) + √(4·n^4 + n^3 + 1))

Nun im Zähler und Nenner n^2 ausklammern und dadurch kürzen. Dann bleibt im Zähler - n übrig und damit ist der Grenzwert.

= - ∞

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Aber im Nenner bleibt ja unter anderem noch die Wurzel übrig...

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Da kann man doch nicht direkt sagen, dass der Grenzwert - unendlich ist oder?

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(- n³ + 6·n² + 2·n - 1) / (√(4·n⁴ + 6·n² + 2·n) + √(4·n⁴ + n³ + 1)) 

=  [ n² * ( - n + 6 + 2/n - 1/n²) / (√[ n⁴ * (4 + 6/n² + 2/n) ] .... 

                                   ......   + √[ n⁴ * (4 + 1/n + 1/n⁴)] )  

=     n² * ( - n + 6 + 2/n - 1/n²) /   ( n² * [ √(4 + 6/n² + 2/n) ....   

                                                             ...  + n² * √(4 + 1/n + 1/n⁴) ]

=   [ n² * ( - n + 6 + 2/n - 1/n²) /  ( n² *  [ √(4 + 6/n² + 2/n) + √(4 + 1/n + 1/n⁴) ]

=  ( - n + 6 + 2/n - 1/n²) /  [ √(4 + 6/n² + 2/n) + √(4 + 1/n + 1/n⁴) ]  

→  " - ∞ / (2+2) "  =  - ∞