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Ich brauche undebingt eure Hilfe. Mein Lehrer wirft uns in das Thema hinein ohne viel dazu zu sagen. Was gesucht ist, steht drauf, aber wie ich hinkomme.. dafür hab ich kein Ansatz. :(Bild Mathematik

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zur Kettenregel und Ableitung der ee-Funktion gibt es gute Videos, z.B.:

Für den ersten Arbeitsauftrag berechnest Du die Ableitungen der vorgegebenen Funktionen und erhältst: f(x)=2xf(x)=ln(2)2xf(x)=2^x\Longrightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x  f(x)=0.5exf(x)=0.5exf(x)=0.5e^x\Longrightarrow f'(x)=0.5e^x  f(x)=exf(x)=exf(x)=-e^x\Longrightarrow f'(x)=-e^x Um die Stellen herauszufinden, an denen die Funktion die vorgegebene Steigung mm besitzt, setzt Du den Wert von mm mit der Ableitung f(x)f'(x) gleich und berechnest die Werte für xx.

Bei dem zweiten Arbeitsauftrag berechnest Du (wie im ersten Arbeitsauftrag) die Ableitungen und setzt die vorgegebenen xx-Werte ein, um so die Steigung für den jeweiligen xx-Wert zu berechnen. Die Ableitungen lauten: f(x)=exf(x)=exf(x)=e^{-x}\Longrightarrow f'(x)=-e^{-x} f(x)=e2xf(x)=2e2xf(x)=e^{2x}\Longrightarrow f'(x)=2e^{2x} f(x)=5x2f(x)=ln(5)2x5x2=ln(25)x5x2f(x)=5^{x^2}\Longrightarrow f'(x)=\ln{(5)}\cdot 2x\cdot 5^{x^2}=\ln{(25)}\cdot x\cdot 5^{x^2}

Hilft Dir das weiter?

André

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Suuuper, danke, sehr hilfreich! :)

Ich habe aber noch eine kleine Frage zu der ersten Aufgabenstellung: beim Gleichsetzen muss ich x berechnen, d.h. es muss alleine stehen, wie kriege ich das x runter?

Gerne doch!

Ich bin mir nicht sicher, was Du mit "[...]  wie kriege ich das x runter" meinst, aber ich vermute es ist das Entfernen aus dem Exponenten gemeint. Für die erste Aufgabe ginge das wie folgt:

ln(2)2x=ln(2) geteilt durch ln(2)\ln{(2)}\cdot 2^x=\ln{(2)} \mid \text{ geteilt durch }\ln{(2)}

2x=1Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden2^x=1\mid \text{Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden}

log2(2x)=log2(1)\log_{2}{(2^x)}=\log_{2}{(1)}

x=0x=0

Die Operation, die das xx "aus dem Exponenten holt" heißt Logarithmieren.

Ja, das ist damit gemeint. Tatsächlich haben wir im Unterricht schonmal das Logarithmus Gesetz gehabt. Also, wenn ich das richtig verstehe und auch richtig verwende und eingebe im Taschenrechner, wäre die zweite Aufgabe dann x= -0,52?

Ich danke Dir :)

Wenn Du die Funktion f(x)=0.5exf(x)=0.5\cdot e^x meinst, dann hast Du Dich wahrscheinlich verrechnet. Für die Ableitung haben wir f(x)=0.5exf'(x)=0.5\cdot e^x berechnet. Setzen wir das gleich 12e\dfrac{1}{2e} erhalten wir 0.5ex=12e0.5\cdot e^x=\dfrac{1}{2e}. Mal 22 auf beiden Seiten ergibt ex=1ee^x=\dfrac{1}{e}. Jetzt musst Du den natürlichen Logarithmus ln\ln auf beide Seiten der Gleichung anwenden (d.h. der Logarithmus zur Basis ee). Daraus folgt dann ln(ex)=ln(1e)\ln{(e^x)}=\ln{\left(\dfrac{1}{e}\right)} x=1\Longleftrightarrow x=-1 Du kannst Deine Ergebnisse überprüfen, indem Du den errechneten xx-Wert in Deine Ableitung einsetzt. Kommt der vorgegebene Wert für mm heraus, dann stimmt Dein Ergebnis.

> ...  ergibt  ex = 1/e  . Jetzt musst du ... 

Hier geht es auch etwas einfacher durch Exponentenvergleich: 

 ex = 1/e   ⇔  ex = e-1  ⇔  x = -1 

Analog kannst Du bei der a.)a.) auch einen Strukturvergleich durchführen. Denn es ist ln(2)2x=ln(2)\ln{(2)}\cdot 2^x=\ln{(2)} Es muss also 2x2^x den Wert 11 haben und das ist für x=0x=0 erfüllt.

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