Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung z^8 = -16z^4 - 256

Question

Servus Leute

schon sehr Bald steht die Klausur an und ich komme bei einer Aufgabe nicht mehr weiter. Es geht wie im Titel schon zu sehen ist, um komplexe Gleichungen Ich füge euch meinen Fortschritt mal als Foto bei und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich bin mir auch gar nicht sicher, ob die ersten 4 Lösungen richtig sind oder nicht. Könnt ihr mir möglichst einfach und am besten so erklären, dass ich als Matheniete es verstehe :D ? Donnerstag ist die Klausur und das Thema muss ich drauf haben. Ich bedanke mich schonmal im voraus PS: Alles was nach dem "x2 = .... " unten kommt, ist eine vermutung,

Comments

Hi,

x_(1) und x_(2) sind richtig. Da musst Du nur noch je die 4te-Wurzel ziehen ;).

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Wär es zu viel verlangt, wenn du mir das einmal vorrechnen würdest :/ ?

Die anderen Antworten haben mir auch nicht so sehr geholfen.

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Kann mir das jemand ohne die eulersche Darstellung zeigen ?

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Hmm, ohne Euler bzw. der Umschreibung von Cos/Sin sehe ich da jetzt auch keine großartige Alternative.
Schau doch mal den Link von Wolfgang nach ;). Das sollte bekannt sein?

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung z^8 = - 16z^4 - 256

Stichworte: analysis,komplexe,zahlen,gleichung

Also irgendwie hab ich auf meine letzte Frage, nach den 2 Antworten keine Rückemldung bekommen. Da ich übermorgen die Klausur schreibe, sah ich leider als einzigen Ausweg die Frage neu zu stellen. Also es geht um die Aufgabe da oben. Ich hab
nun -8 + √192 * i und  -8 - √192 * i
Ich soll ja nun Substituieren, um 8 Lösungen zu bekommen. 2 Lösungen hab ich glaube ich schon.
Z1: √3 * i und z2: -√3 * i
Ich weiß aber sonst immer noch nicht weiter. Gehts auch ohne die Polar und eulersche Form ? Kann mir hier jemand bitte einen Ausführlichen Lösungsweg aufschreiben ?

Sorry für den Doppelpost

LG

Answer 1

Hallo MN,

x₁ und x₂ sind richtig

Jetzt musst du aber die Gleichungen   z⁴ = x₁   und  z⁴ = x₂   lösen  (Rücksubstitution)

Hier findest du in einer älteren Antwort von mir eine Beschreibung wie man da jeweils vorgehen kann:

https://www.mathelounge.de/370331/wurzeln-bestimmen-sie-alle-komplexen-losungen-der-gleichung

Das ergibt jeweils 4, insgesamt also 8 Lösungen:

z = - √3 - i   ∨   z = - √3 + i   ∨   z = √3 - i   ∨   z = √3 + i

 ∨   z = -1 - √3·i   ∨   z = -1 + √3·i   ∨   z = 1 - √3·i   ∨   z = 1 + √3·i

Gruß Wolfgang

Answer 2

Comments

Die letzten drei Zeilen sind schwer zu entziffern.

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Gehts nicht auch ohne eulersche und polar form ? -8+I-√192 mal i muss ich in z^4 einsetzen. Das weiß ich noch, Hab auch schon für z1 und z2 je "√3 mal i" und "-√3 mal i" raus. Für alle anderen Lösungen bräuchte ich bitte einen leichten rechenweg

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tut mir Leid, ich kenne keine anderen Wege.

Hast Du denn schon mal in Deine Unterlagen geschaut

oder Lehrbriefe, es muß Dir doch jemand mal erklärt haben?

Man schreibt doch nicht einfach eine Klausur ohne Übungen?