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Hallo,

Ich hoffe jemand kann mir hier helfen.

Es geht um Binome rückwärts anwenden, also :

x^2 + 4x + 4 zu (x + 2)^2

Da kann man ja einfach :

a^2 = x^4

a = x^2

b^2 = 4

b = 2 (-2 nicht hier wichtig!)

2ab = 4x

2 * x * 2 = 4x

4x = 4x

(x + 2)^2

Jetzt gibt es aber dieses Beispiel :

x^4 + 8x^3 + 26x^2 + 40x + 25

Lösung ist : (x^2 + 4x + 5)^2

Jetzt muss ich ja a, b und c bestimmen.

a^2 = x^4

a = x^2

b^2 = ?

? = ?

c^2 = 25

c = 5

Ich konnte a und c bestimmen, aber b nicht.

Weiß jemand vielleicht wie ich b bestimmen könnte ?

Ich weiß man könnte auch zerlegen, aber davon bin ich kein großer Fan.

Danke !

von

Es ist

x4 + 8x3 + 26x2 + 40x + 25 =

(x4 + 26x2 + 25) + (8x3 + 40x)

Versuch mal, die Klammern einzeln zu faktorisieren. Vielleicht kannst du später noch was ausklammern!

2 Antworten

+3 Daumen

Es gilt dass $$(a+b+c)^2=a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2$$ Wir wollen die Werte von a,b,c bestimmen sodass $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(a+b+c)^2=a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2$$ Wir haben dass $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(x^2)^2+8x^3+26x^2+40x+5^2$$ Wir setzen a=x^2 und c=5 dann haben wir folgendes: $$(x^2)^2+8x^3+26x^2+40x+5^2=(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot b + b^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2\cdot  b \cdot 5 + 5^2$$ Rechts haben 6 Terme und links 5, daher müssen wir links ein Term als Summe von zwei Terme schreiben, sodass der eine Terme ein Quadrat ist, also das b2. Wir schreiben den Term 26x2 gleich 10x2+16x2 = 10x2+(4x)2: $$(x^2)^2+8x^3+10x^2+(4x)^2+40x+5^2=(x)2)^2 + 2 x^2 b + b^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2$$ Das b ist dann also das 4x: $$(x^2)^2+8x^3+10x^2+(4x)^2+40x+5^2=(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 4x + (4x)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2 \cdot 4x\cdot  5 + 5^2$$ Wir bekommen also $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(x^2+4x+5)^2$$

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+2 Daumen

x4 + 8x3 + 26x2 + 40x + 25
soll entsprechen
( ax^2 + bx + c )^2
direkt ersichtlich
a = 1
c = 5
( x^2 + bx + 5 )^2  | ausmultiplizieren
x^4 + b*x^3 + 5x^2 + bx^3 + b^2x^2 + 5bx + 5x^2 + 5bx + 25
zusammenfassen
x^4 + 2bx^3 + ( 10 + b^2 ) * x^2 + 10bx + 25
Vergleich mit
x4 + 8x3 + 26x2 + 40x + 25
2b = 8  => b = 4
10 + b^2 = 26  => b = 4
10b * 40  => b = 4

stimmt also alles
( x^2 +4x + 5 )^2

von 83 k

Entschuldigung wenn ich störe, aber ich hab noch eine Frage.

x^6 + 18x^4 + 16x^3 + 81x^2 + 144x + 64

Hier möchte ich b bestimmen, aber es funktioniert nicht mit dem Koeffizientenvergleich.

Was sollte ich jetzt tun ?

Danke.

Entschuldigung wenn ich störe, aber ich
hab noch eine Frage.
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Dazu ist das Forum da.

( a * x^3 + b * x + c ) ^2
a = 1
c = 8
( x^3 + b * x + 8 ) ^2

ausmultipliziieren und zusammenfassen
x^6 + 2 b x^4 + 16 x^3 + b^2*x^2 + 16bx + 64
vergleichen mit
x^6 + 18 * x^4 + 16 * x^3 + 81 * x^2 + 144 * x + 64

2b = 18   => b = 9
b^2 = 81  => b = 9
16b = 144  => b = 9

b = 9.  Passt also alles.
( x^3 + 9 * x + 8 ) ^2

x6 + 18x4 + 16x3 + 81x2 + 144x + 64

Hier möchte ich b bestimmen, aber es funktioniert nicht mit dem Koeffizientenvergleich.

Ich nehme an, du möchtest das Polynom in die Form (p(x)^2) bringen, vielleicht, weil das bereits Teil der Aufgabenstellung ist. Ein passender Ansatz wäre dann

(x^3 + bx^2 + cx + 8)^2

Nun muss aber x^3*bx^2 + bx^2*x^3 = 2bx^5 = 0

gelten, weswegen b = 0 sein muss und der einfachere Ansatz

(x^3 + cx + 8)^2

genügt. Weiter folgt wegen

cx * cx = (cx)^2 = 81x^2

leicht c = 9 und wir sind fertig.

Vielen Dank euch beiden. Jetzt leuchtet es mir ein.

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