Kritische Punkte einer Funktion bestimmen.

Question

für die Extremstellenberechnung und für die Hesse-Matrix brauche ich die kritischen Punkte bzw. die Nullstellen einer Funktion. Wie würden die kritischen aussehen, wenn die partiellen Ableitungen folgende wären?:

I.  2xy² + 2y + 1 = 0

II. 2xy + 2 = 0

Bitte auch mit Erklärung.

Comments

Bist du dir bezüglich der partiellen
Ableitungen sicher ? Es gibt sonst
keine kritischen Stellen.
Stelle einmal die Ausgangsformel ein.

---

Egal wie ich die beiden Funktionen
integriere. Es kommt nie eine gleiche
Ausgangsfunktion heraus.

---

Hallo Georg,

deine Bedenken sind berechtigt  (vgl. meine ergänzte Antwort)

Gruß Wolfgang

---

Warten wir einmal ab ob der Fragesteller
uns die Ausgangsfunktion mitteilt.

Answer 1

Hallo John_Doe,

du brauchst für die kritischen Punkte natürlich nicht die Nullstellen der Funktion sondern die gemeinsamen Nullstellen der partiellen Ableitungen.

I.  2xy² + 2y + 1 = 0

II. 2xy + 2 = 0

G2  →   y = -1/x    (für x≠0 ,  sonst wegen 2 ≠ 0 keine Lösung)

y  in G1  →   2·x·(- 1/x)^2 + 2·(- 1/x) + 1 = 0  ⇔  2/x  - 2/x + 1 = 0

Das Gleichungssystem hat also keine Lösung

Damit gäbe es  keine kritischen Punkte.

(wenn die partiellen Ableitungen richtig sind. "Unbekannten" Personen kann man da ja nicht immer trauen :-) )

Nachtrag:

Die zweiten partiellen Ableitungen f_xy = 4xy + 2  und f_yx =  2y  stimmen nicht überein. Das ist bei "normalen" Funktionen nicht möglich, also ein ganz schlechtes Zeichen!

Vgl. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Schwarz

Gruß Wolfgang

Comments

@John_Doe

habe nach dem Kommentar von Georgborn und einer kleinen Rechnung dazu auch wieder erhebliche Zweifel an deinen partiellen Ableitungen. Schau nochmal in meine ergänzte Antwort :-)

Answer 2

I.  2xy² + 2y + 1 = 0

II. 2xy + 2 = 0      ==>   2xy = -2    ==>    xy = - 1 , wegen x ungleich 0 also auch  y = -1/x

in I einsetzen

2x*1/x² + 2* (-1/x) + 1 = 0

          2/x - 2/x + 1 = 0

                         1 = 0

Also gibt es keine kritischen Punkte , falls deine Ableitungen richtig

sind.