Funktion 4. Grades Polynomdivision f(x)= x^4-5x^2+4.

Question

Ich habe ein neues Thema heute kennengelernt, nämlich die polynomdivision. Paar habe ich schon gut hinbekommen aber bei der folgenden funktion bleib ich hängen: f(x)= x^4-5x^2+4.

Danke

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Mit

f(x) = x⁴ - 5x² + 4 = x⁴ + 0x^3 - 5x² + 0x + 4

kannst du die fehlenden Summanden künstlich hervorholen, falls das für dich übersichtlicher ist.

Polynomdivision ist hier zur Nullstellenbestimmung aber nicht erforderlich, da die vier verschiedenen Nullstellen alle Teiler des Absolutgliedes 4 sind.

Answer 1

Hallo II,

 f(x) = x⁴- 5x² + 4.= 0  (?)

x = 1 findet man zum Beispiel durch Probieren.

 Polynomdivision:

x^4         - 5x^2        + 4) : (x - 1)  =  x^3 + x^2 - 4x - 4  

 x^4  - x^3                   

 —————————————————————————————

        x^3  - 5x^2        + 4

        x^3  -  x^2           

        ——————————————————————

             - 4x^2        + 4

             - 4x^2  + 4x     

             —————————————————

                      - 4x   + 4

                      - 4x   + 4

                     —————————

                             0

Hierfür findet man z.B. x=2 als Nullstelle,  Polynomdivision  durch x-2

Die Nullstellen des Restterms findet man dann z.B. mit der pq-Formel.

Gruß Wolfgang

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Vielleicht hilft dieses Video.

Answer 2

(x^4         - 5x^2        + 4) : (x - 1)  =  x^3 + x^2 - 4x - 4

 x^4  - x^3

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        x^3  - 5x^2        + 4

        x^3  -  x^2

        ——————————————————————

             - 4x^2        + 4

             - 4x^2  + 4x

             —————————————————

                     - 4x  + 4

                     - 4x  + 4

                     —————————

                             0

Answer 3

Natürlich sollst du wohl die Polynomdivision erst mal üben, wenn die neu ist. 

f(x)= x⁴-5x²+4.

mit dem guten alten Vieta (Satz von Vieta zum Faktorisieren) kannst die Polynomdivision kontrollieren und bei einfachen Aufgaben viel Rechenarbeit sparen. Wissensblock dazu hier: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen#linfakt

Überlegungen:  4*1 = 4 und (-4)*(-1) = 4 und (-4) + (-1) = -5 

Daher nach Vieta

f(x)= x⁴-5x²+4 = (x^2 - 4) * (  x^2 -1 )    | 3. binomische Formel

= (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) 

f(x) hat die Nullstellen x1 = 2, x2 = -2 , x3 = 1, x4 = -1