Potenzreihe, Summe von (1/16)^k (1 - 2x)^{2k} . Komme immer auf einen anderen Konvergenzradius.

Question

$$ \sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ 16 }  \right) ^{ k }\cdot \left( 1-2x \right) ^{ 2k } } \quad \quad \Longrightarrow a_{ k }=\left( \frac { 1 }{ 16 }  \right) ^{ k }\quad \quad \quad ;\quad { x }_{ 0 }=\quad \frac { 1 }{ 2 } \\ \\ \\ $$

habe hier immer ρ=4 raus aber aus der lösung entnehme ich, dass rho = 2 sein muss...

Comments

(1/16 ) = (1/4)^2

(1/16)^k = (1/4)^{2k} 

und / oder

(1-2x)^{2k} = ((1 - 2x)^2 )^k 

hast du berücksichtigt? 

Wenn ja: Wie genau? 

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nein, habe ich nicht.. passt dann ja mit (1/4)^2k , muss also der koeffizient a_k angepasst werden an die potenz der EWS ?

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beachte:

um die bekannten Formeln zur Berechnung des Potenzradius anzuwenden, so muss die Potenzreihe die Form $$ \sum_{k=0}^{\infty}{{ a }_{ k }}x^k $$

aufweisen. Diese musst du in deinem Beispiel noch herstellen.

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etwa so: $$ \sum _{ k=2 }^{ \infty  }{ \left( \frac { 1 }{ 16 }  \right) ^{ k }\cdot \left( 1-2x \right) ^{ 2k } } \quad \quad \Longrightarrow a_{ k }=\left( \frac { 1 }{ 16 }  \right) ^{ k }\quad =\left( \frac { 1 }{ 4 }  \right) ^{ 2k }\quad \quad ;\quad { x }_{ 0 }=\quad \frac { 1 }{ 2 } \\ \\ \\ \rho \quad =\frac { 1 }{ \lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ 2 ]{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right) ^{ 2 } }  }  } =\quad 2\quad \quad \Longrightarrow ]\frac { 1 }{ 2 } -2,\quad \frac { 1 }{ 2 } +2[\quad \quad =\quad \left( -\frac { 3 }{ 2 } ,\quad \frac { 5 }{ 2 }  \right) ......$$

Answer 1

Hallo Denker2.0,

Reihe in Potenzform durch Substitution bringen
\( \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{1}{16}  \right)^k \cdot(1-2x)^{2k} =  \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{1}{16}  \right)^k \cdot z^k \) mit \( z=(1-2x)^2 \)

Konvergenzradius
\( R = \frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left(\frac{1}{16}  \right)^k}} = \frac{1}{\lim_{k \to \infty}\frac{1}{16} } = \frac{1}{\frac{1}{16} } = 16 \)
Die Reihe konvergiert für alle \( |z| <  16 \).

Uns interessiert aber, für welche x die Reihe konvergiert. Das bekommen wir durch Rücksubstitution heraus: \( |(1-2x)^2| < 16 \).
Wenn wir das nach \( x \) auflösen, bekommen wir \( x>-1.5 \) und \( x<2.5 \), d.h. die Reihe konvergiert für alle \( x \in (-1.5, ~  2.5) \).

Beste Grüße
gorgar