Grenzwerte mit x gegen eine zahl

Question

ich habe hier folgende aufgabe...

$$\lim_{x\to-2}\frac{ x^{ 3 }+3x^{2 }-4 }{ x^{ 3 }+5x^{ 2 } +8x+4}$$

hierbei soll ich nun den Grenzwert für Limes gen -2 errechnen. weiß jedoch nicht, wie ich vorgehen soll, da ich diese noch keine grenzwertaufgaben gelöst habe, die diese form hatten. kann nur gegen unendlich oder gegen minus unendlich. denke, so einfach, dass ich den wert einfach für x einsetzen muss, ist es wohl nicht, da ich dafür 3/5 rauskriege, die Lösung jedoch 3 besagt.

kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

liebste grüße

Comments

Tipp:

$$\frac{ x^{ 3 }+3x^{2 }-4 }{ x^{ 3 }+5x^{ 2 } +8x+4}=\frac { (x-1)(x+2)^2 }{ (x+1)(x+2)^2 }=\frac { (x-1) }{ (x+1) }$$

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das über dem Bruchstrich mit der binomischen Formel, konnte ich in deiner Antwort herauslesen.

aber wie hast du auf die schnelle das unten durchschaut, sodass du direkt auf (x+1)(x+2)² gekommen bist?  gibt es da vielleicht nen Trick, oder nen kniff, um das schnell zu durchschauen und umschreiben zu können?

lg

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Der Trick heißt:

Wolfram alpha

Auf die schnelle erkenn ich das sonst auch nicht.

Deshalb wars auch nur ein Tipp ;)

Berechnen kann man die Faktorisierung mithilfe einer Polynomdivision.

Dauert halt ein wenig, da man hier zweimal (x+2) abspalten muss.

Answer 1

Hi,

Du kannst nicht einfach -2 einsetzen, da das im Nenner zu 0 führt. Du kannst aber versuchen, ob es möglich ist den Faktor (x+2) aus Zähler und Nenner zu kürzen, denn dann kannst Du -2 einsetzen. Dazu eine Polynomdivision durchführen von je Zähler und Nenner:

Zähler führt auf:

(x³  + 3x² + 0x - 4) : (x + 2)  =  x² + x - 2 
-(x³  + 2x²)          
 ————————
         x²        - 4
       -(x²  + 2x)    
         ——————
              - 2x  - 4
            -(- 2x  - 4)
              ————
                      0

Nenner führt auf:

(x³  + 5x²  + 8x  + 4) : (x + 2)  =  x² + 3x + 2 
-(x³  + 2x²)          
 —————————
        3x²  + 8x  + 4
      -(3x²  + 6x)    
        ———————
                2x  + 4
              -(2x  + 4)
                —————
                      0

Kürzt man also den Bruch von Dir mit (x+2) hat man:

$$\frac{x^2+x-2}{x^2+3x+2}$$

Nun noch testen, ob x = -2 im Nenner weiterhin auf 0 führt, oder ob das ungleich 0 ist. Der Nenner ist wieder 0, also muss man nochmals mit x+2 kürzen, falls möglich. Faktorisiert, wird mit der pq-Formel:

$$\frac{x^2+x-2}{x^2+3x+2} = \frac{(x+2)(x-1)}{(x+2)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$$

Nun den Grenzwert ansetzen, was nun keine Probleme mehr bereitet:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x-1}{x+1} = 3$$

Grüße

Answer 2

Wenn die Funktion in x=-2 stetig ist, kannst du einfach x=-2 einsetzen und den Grenzwert direkt ausrechnen.

Wenn das Einsetzen von x=-2 auf den Nenner 0 führt, ist der Bruch für x=-2 nicht definiert. Da unten ein Polynom ist, kann man (x+2) ausklammern. Das geht hier zufällig auch im Zähler. --> Bruchterm mit (x-2) kürzen. Dasselbe noch ein zweites Mal und dann bleibt ein Bruchterm, der in x=-2 stetig ist. --> x= -2 einsetzen und du bekommst den gesuchten Grenzwert.