Integral Erklärung (Umformen)

Question

ich habe mal bei diesem Integral die Stellen markiert, die ich nicht nachvollziehen kann. 

1. Wo ist das x hin bzw. warum ist das x^-0,5 dann negativ?

2. Wie kommt man von  x^-0,5 auf 2 Wurzel x? Wenn ich x^-0,5 um 1 erweitere und den Exponent nach vorne mache, dann bekomme ich 0,5x^0,5.

Answer 1

zu1)

√ x= x^1/2

x^1/2  /x = x^{1/2 -2/2}

=x^-1/2

Anwendung Potenzgesetz allgemein:

a^m/aⁿ=a^m-n

Zu 2)

Hier gibt es die folgende Integrationsregel:

∫ xⁿ dx= 1/(n+1) xⁿ⁺¹ +C

hier ist n= -1/2

-------->

= 1/(-1/2 +1) x^{-1/2 +1} +C

= 2 x^1/2 +C

=2 √x +C

Answer 2

Hi,

x^0,5/x¹ = x^0,5-1 = x^-0,5

und wenn man integriert muss der Exponent um 1 erhöht werden und mit diesem dann 1/(neuer Exponent) multipliziert werden. Also:

x^-0,5+1*1/(-0,5+1) = x^0,5/0,5 = 2*x^0,5 = 2√x

Dabei ist 1/0,5 = 1/(1/2) = 2  (Kehrbruch multiplizieren und so)

Grüße

Answer 3

Verwende die Potenzgesetze:

$$\frac { x^{1/2} }{ x }=x^{1/2}*x^{-1}=x^{1/2-1}=x^{-1/2}$$

Eine Stammfunktion zu

$$f(x)=x^n$$

ist $$F(x)=\frac { 1 }{ n+1 }x^{n+1}$$