wie beweise ich eine Aussage? (Mengen und Abbildungen)

Question

Hallo  :)

Ich habe gerade mein Mathestudium angefangen und stehe nun schon vor dem ersten Problem:

Sei f : M  ↦ N eine Funktion und seien A ⊆ M sowie B ⊆ N Teilmengen. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen gilt und geben Sie einen Beweis bzw. ein Gegenbeispiel zur Begründung an. (hoch c soll die Komposition darstellen)

a)  f ( A^c ) ⊆ ( f (A))^c  

b) f ^-1(B^c ) ⊆ (  f ^-1(B))^c    

Ich habe leider noch nicht einmal den Ansatz einer Idee...weder wie ich mir das Ganze vorzustellen habe noch wie ich  es beweisen soll....Ich habe noch mehr solcher Aufgaben die ich zu lösen habe.... daher würde ich mich wirklich sehr freuen wenn, mir jemand an den beiden Aufgaben oben beispielhaft zeigen würde was von mir überhaupt erwartet wird...

Ganz liebe Grüße

Comments

(hoch c soll die Komposition darstellen)

Das glaube ich nicht. Das wird wohl eher das Komplement

sein, also   A^C = M \ A.

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ja genau Komplement habe ich auch eigentlich gemeint, sorry

Answer 1

a) ist falsch. Nimm etwa die Quadratfunktion f : ℝ --> ℝ ,  x --> x² .

Und A = ℝ_o⁺ also die Menge aller reellen Zahlen, die nicht negativ sind.

Dann ist  auch f(A) = ℝ_o⁺ aber  A^c = ℝ^-  also alle negativen reellen Zahlen

und f(  A^c ) = ℝ⁺ , also eine Teilemenge von f(A) und keinesfalls im Komplement

davon.

b) ist wohl richtig. Ein Beweis für eine Teilmengenaussage ( etwa P ⊆ S ) sieht ja immer so aus.

sei x ∈ P ==> .................  ==>  x ∈ S.

Hier also

sei   x ∈  f ^-1(B^c )

==>   Es gibt ein y ∈ B^C  mit  f(x) = y

==>  y ∈ N aber   y ∉ B.

Dann kann x nicht aus  f ^-1(B) sein,

denn sonst wäre f(x) = y aus B.

Andererseits ist natürlich x ∈ M, da die

Funktion den Definitionsbereich M hat. Also gilt

x ∉  f ^-1(B) und  x  ∈ M

also x ∈  (  f ^-1(B))^c    . q.e.d.

Comments

Danke schon mal für die Antwort :)

und das reicht als Beweis?  Gibt es da keine Form die ich halten muss?

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Das ist ein Gegenbeispiel. Das genügt um eine Aussage

zu widerlegen.

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Ich kann dir gar nicht sagen wie dankbar ich bin....ich saß schon ein paar Stunden an den Aufgaben und wusste einfach nicht wie ich anfangen soll... jetzt kann ich auch den Rest machen :)

Es ist wirklich toll, dass du dir dafür Zeit genommen hast. :)

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Gern geschehen . Ich wünsche dir weiterhin viel Erfolg

und damit steigt auch der Spaß an der Mathematik.