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Kann mir jemand sagen, ob folgende Überlegung zur Definition bzw. Abbildung eines Dreiecks als Funktion eines beliebigen vorgegebenen Dreiecks bereits bekannt ist?
Gegeben sei ein beliebiges Dreieck mit den Winkeln \(\alpha, \beta, \gamma\). Aus diesen 3 Winkeln ergibt sich ein weiteres Dreieck, indem man dessen 3 neue Winkel \(\delta, \epsilon, \zeta\) durch folgende Vorschrift bestimmt:
$$\begin{align*}\delta &= \frac{1}{2} (\alpha + \beta)\\ \epsilon &= \frac{1}{2} (\beta + \gamma)\\ \zeta &= \frac{1}{2} (\gamma + \alpha)\end{align*}$$

Dass hierdurch tatsächlich ein neues Dreieck definiert wird, erkannt man daran, dass die Winkelsumme des neuen Dreiecks:
\begin{equation}
\delta + \epsilon + \zeta = 180 °
\end{equation}
Man könnte nun jedem der so entstandenen Tochter-Dreieck ein weiteres nach dem gleichen Prinzip zuordnen und dies beliebig oft wiederholen, also eine unendliche Reihenfolge von Dreiecken definieren, deren Grenzwert ein gleichseitges/winkliges Dreieck sein müsste. \\

Ist diese Überlegung bereits bekannt?
Für Eure Kommentare wäre ich sehr dankbar.

von

Ich hab mal dein \(\LaTeX\) repariert.

1 Antwort

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Die Winkel des nächsten Dreiecks können aus den Winkeln eines Dreieck mittels der Matrix \(M = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) durch eine Matrix-Vektor-Multiplikation berechnet werden: \(M\cdot \begin{pmatrix} 2\\4\\174\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\89\\88\end{pmatrix}\)

Bei der Matrix \(M\) handelt sich um eine sogenannte stochastische Matrix, das heißt in jeder Spalte ist die Summe der Einträge 1 und kein Eintrag ist negativ.

Stochastische Matrizen haben einen sogenannten Fixvektor, das heißt es gibt einen Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}\), so dass \(M\cdot \vec{v} = \vec{v}\) ist.

Multipliziert man \(M\) jeweils an das vorherige Ergebnis heran, dann bekommt man eine sogenannte Markow-Kette. In diesem speziellen Fall ist es eine irreduzible aperiodische Markow-Kette. Konsequenz ist einerseits, dass der Fixvektor bis auf die Spaltensumme eindeutig bestimmt ist (jedes Vielfache eines Fixvektors ist auch wieder ein Fixvektor).

Man kann leicht zeigen, dass der Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix}60\\60\\60\end{pmatrix}\) ein Fixvektor ist, also die Gleichung \(M\cdot \vec{v} = \vec{v}\) erfüllt. Wegen obiger Eindeutigkeit ist es der einzige Fixvektor mit Spaltensumme 180.

Weiter Konsequenz aus der Irreduzibilität und Aperiodizität ist, dass die Markow-Kette unabhängig vom Anfangsvektor gegen einen Fixvektor konvergiert.

Zusammengefasst ist es tatsächlich so, dass jedes Dreieck gegen ein gleichseitiges Dreieck konvergiert.

Das ganze ist in NRW Thema der Q2 auf dem Gymnasium, allerdings in einem anderen Zusammenhang und ohne die Begriffe "Irreduzibilität" und "Aperiodizität" (es wird einfach davon ausgegangen, dass der Schüler zu dumm ist, um zu entdecken, dass es auch reduzible und auch periodische Markow-Ketten geben kann).

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Super Antwort.

Habe mehr dazugelernt, als erhofft.

Kenne Markow-Matrix nur aus der Fehleranalyse komlexer Systeme.

Danke

Ikosaeder

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