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ich weiß diese Frage kam oft jedoch werd ich aus den anderen Fragen und Antworten nicht schlau deshalb hier nochmal:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf:

F(K,L)=K^0,6+L

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =0,3 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =12. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 240 ME produziert werden soll.

 Wie hoch ist der Einsatz von Faktor L?

von

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Hallo Hannes,

Du schreibst: "... jedoch werd ich aus den anderen Fragen und Antworten nicht schlau .." - Ok, dann versuche ich es mal:

Die Kosten \(C\) für das Unternehmen setzen sich zusammen aus den Kapital- und den Arbeitskosten. Der Preis für eine Einheit Kapital ist \(p_K=0,3\) und der Preis für eine Einheit Arbeit ist  \(p_L=12\). Folglich addieren sich Kapital und Arbeitskosten zu

$$C(K,L) = p_K \cdot K + p_L \cdot L$$

Aus der Sicht einer Optimierung ist dies die Hauptbedingung. Diese Funktion \(C\) gilt es zu minimieren. Die Nebenbedingung \(N\) ist durch die geplante Produktionsmenge von 240ME und der Produktionsfunktion festgelegt. Es gilt der Zusammenhang:

$$F(K,L) = K^{0,6} + L = 240 \quad \Rightarrow \space N(K,L) =  K^{0,6} + L - 240 = 0$$

Das kann man mit Lagrange lösen - dazu stellt man die Lagrangefunktion \(\Lambda\) auf. Allgemein gilt

$$\Lambda (K,L, \lambda) = C(K,L) + \lambda(N(K,L))$$

also hier

$$\Lambda (K,L, \lambda) = p_K \cdot K + p_L \cdot L + \lambda(K^{0,6} + L - 240)$$

und das leitet man nach den drei Unbekannten \(K\) , \(L\) und \(\lambda\) ab und setzt diese zu \(0\). Die Ableitung nach \(\lambda\) ist wieder die Nebenbedingung.

$$\frac{\partial \Lambda}{ \partial K} = p_K + \lambda \cdot 0,6 K^{-0,4} = 0$$

$$\frac{\partial \Lambda}{ \partial L} = p_L + \lambda = 0$$

aus der zweiten Gleichung folgt \(\lambda=-p_L\). Einsetzen in die erste gibt

$$p_K - p_L \cdot 0,6 K ^{-0,4} = 0 \quad \Rightarrow K^{-0,4} = \frac{p_K}{p_L \cdot 0,6}$$

$$\Rightarrow \space K = \left( \frac{p_K}{p_L \cdot 0,6}\right)^{\frac{1}{-0,4}}=\left( \frac{p_L \cdot 0,6}{p_K}\right)^{\frac{5}{2}} \approx 2821,8$$

Der Faktor \(L\) folgt nun aus der Produktionsgleichung

$$F(K,L)=K^{0,6} + L = 240 \quad \Rightarrow L = 240 - K^{0,6} \approx 122,4$$

(rechne bitte nach!) Falls Fragen offen sind, nur heraus damit.

Gruß Werner

Edit: korrigiert 540 -> 240

von 16 k
danke für deine Antwort!
Du hast ab einem gewissen Punkt mit 540 gerechnet anstelle von 240, dies ist ein Tippfehler nehme ich an?
Wir haben immer mit einem Minus gerechnet anstelle eines Pluszeichens, kann mir daher vielleicht ein Fehler unterlaufen sein oder ist das durch eine andere Herangehensweiße bestimmt?C(K,L) + λ(N(K,L)) anstelle von C(K,L) - λ(N(K,L))

Hallo Hannes,

Oh ja - das mit 540 ist ein Tippfehler - ich korrigiere das noch.

Ob Du \(+\lambda N(K,L)\) oder \(-\lambda N(K,L)\) rechnest ist egal. Das \(\lambda\) selbst hat ja keine Aussagekraft.

Gruß Werner

Ich habe es nachgerechnet und das Ergebnis stimmt.
Herzlichen Dank Werner.

+2 Daumen

habs auch mal berechnet:

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von 79 k

Auf einmal sieht das alles so leicht aus.
Danke für deine Antwort!

Aber wie kommst du von = -12  auf = 24?

ich habe beide Seiten durch (-0.5) dividiert.

Dacht ich mir schon, mein Taschenrechner zickte nur, danke nochmal.

Nochmals ich, ich bin wieder am Üben und kam auf nochmal auf diese Frage, könnte ich dich fragen, wie du zur Ableitung von K(L) kamst? Also von 0,3 auf -0,5
Ergibt 0,3 * 5/3 nicht plus 0,5?

K'(L)= 5/3 *0.3 (240-L)^{2/3} *(-1)

K'(L)=( -1)* 5/3 *0.3 (240-L)^{2/3}

-1 ist die innere Ableitung von 240-L

--->

K'(L)= -0.5 (240-L)^{2/3}

Ach ja ich habe die Innere komplett vergessen, danke nochmal!

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