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Gegeben ist die Funktion f(x) = -2x³ + 4x.

Bestimme die Gleichung der Geraden g(x) = mx so, dass die Fläche, die der Graph der Funktion f im ersten Quadranten mit der x-Achse einschließt, durch den Graphen der Funktion g in zwei gleich große Teile geteilt wird.

Also ich dachte zuerst, das ist eine leichte Aufgabe, aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung.

Mein bisheriger Lösungsversuch:

1. Bestimmung der positiven Nullstelle von f:  $${ x }_{ 0 }=\sqrt { 2 } $$. Somit habe ich die Integrationsgrenzen der Parabelfläche.

$$\int _{ 0 }^{ \sqrt { 2 }  }{ (-2x³\ +\ 4x)dx }=2 $$

Die Gesamtfläche unter der Parabel ist 2 (FE). Dementsprechend ist die Fläche zwischen Parabel und Gerade 1 (FE).

2. Bestimmen der Schnittstelle von f und g:

$$mx=-2{ x }^{ 3 }+4x$$ bzw. $$m=-2{ x }^{ 2 }+4$$

3. Aufstellen des Integrals f - g:

$$\int _{ 0 }^{ { x }_{ s } }{ (-2{ x }^{ 3 }+4x-mx)dx } $$= $$-\frac { { x }^{ 4 } }{ 2 } +\frac { 4-m }{ 2 } { x }^{ 2 }=1$$

Wenn ich nun m ersetze und dann nach x auflöse, erhalte ich:

$$x=\sqrt [ 4 ]{ 2 } =\quad 1,189$$

Das kann aber nicht stimmen, denn die Probe ergibt eine Fläche von 1,83 statt 1,0 (FE).

Wo ist mein Fehler?

von

"Wenn ich nun m ersetze und dann nach x auflöse,"

Kannst du denn wirklich nach x "auflösen"? Das scheint eine biquadratische Gleichung mit bis zu 4 Lösungen zu geben. 

Ich habe für m den Term -2x²+4 eingesetzt und dann erhält man den einfachen Term x4=2, also keine biquadratische Gleichung.

Wo ist mein Fehler?

In der Probe.

Du: Wo ist mein Fehler?

Du hast dich bei der Probe verrechnet oder falsch eingesetzt. Das Ergebnis der Rechnung ist jedenfalls richtig.

Danke für die Kontrolle. Ja, ich habe bei der Probe einen Fehler gemacht. Jetzt habe ich nochmal nachgerechnet und es paßt.

Vielleicht sollte man besser die Probe manchmal weglassen. :-)

2 Antworten

+2 Daumen

Wenn du die Probe machst und dich nicht verrechnest wirst du feststellen, dass dein Ergebnis stimmt.

von 20 k
0 Daumen

Hallo Robinson,
wäre noch nachzutragen
Bestimme die Gleichung der Geraden g(x) = mx so,
g ( x ) = 1.1716 * x

von 86 k

Na endlich ist die Frage beantwortet

Na, wenn es denn unbedingt sein muss, dann so:

$$ g(x) = \dfrac { f\left( \sqrt [ 4\, ]{ 2 } \right) }{ \sqrt [ 4\, ]{ 2 } } =-2\cdot\sqrt{2}+4=\dots $$

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