Beweise, dass $${ 2 }^{ 3n }-{ 5 }^{ n }$$ durch 3 teilbar ist.
Ich komme irgendwie nicht weiter.
IA: Für n=1 ergibt sich 8-5=3, stimmt also.
IS: von n auf n+1 schließen:
$${ 2 }^{ 3(n+1) }-{ 5 }^{ n+1 }={ 2 }^{ 3n+3 }-{ 5 }^{ n+1 }$$
$$={ 2 }^{ 3n }\cdot { 2 }^{ 3 }-{ 5 }^{ n }\cdot { 5 }^{ 1 }=8\cdot { 2 }^{ 3n }-5\cdot { 5 }^{ n }$$
$$=7\cdot { 2 }^{ 3n }+1\cdot { 2 }^{ 3n }-4\cdot { 5 }^{ n }-1\cdot { 5 }^{ n }={ 2 }^{ 3n }-{ 5 }^{ n }+7\cdot { 2 }^{ 3n }-4\cdot { 5 }^{ n }$$
Jetzt bin mit meinem Latein am Ende. Die beiden ersten Glieder der letzten Gleichung entsprechen der Annahme (sind also durch 3 teilbar), aber wie beweise ich das bei den letzten beiden Gliedern?
Wer kann mir hier weiterhelfen?
